【光学】二维亥姆霍兹方程的 FEM 求解器附Matlab代码_matlab helmholdtz方程边界条件-优快云博客

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🔥 内容介绍

摘要: 本文探讨了利用有限元法(Finite Element Method, FEM)求解二维亥姆霍兹方程的方法。首先，对亥姆霍兹方程及其物理意义进行了简要介绍，并阐述了选择有限元法求解该方程的优势。其次，详细推导了基于伽辽金法的二维亥姆霍兹方程的弱形式，并给出了有限元离散化的具体步骤，包括单元划分、形函数选择以及全局刚度矩阵的组装。最后，针对不同边界条件下的求解策略进行了讨论，并对算法的收敛性与稳定性进行了分析，并以数值算例验证了算法的有效性和精度。

关键词: 亥姆霍兹方程；有限元法；伽辽金法；弱形式；全局刚度矩阵；边界条件

1. 引言

亥姆霍兹方程是描述波传播的重要偏微分方程，广泛应用于声学、电磁学、弹性力学等领域。其二维形式可表示为：

∇²u(x,y) + k²u(x,y) = f(x,y) (1)

其中，u(x,y)表示波函数，k表示波数，f(x,y)表示源项。波数k决定了波的波长和频率，源项f(x,y)表示波的激励源。当k为实数时，方程描述的是谐波传播；当k为复数时，方程可描述波的衰减或增益。

精确求解亥姆霍兹方程往往较为困难，甚至不可能。数值方法，如有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)和边界元法(BEM)等，成为求解该方程的重要手段。相比于FDM，FEM在处理复杂几何形状和边界条件方面具有显著优势，并且可以获得更高的精度。因此，本文选择FEM作为求解二维亥姆霍兹方程的主要方法。

2. 弱形式推导及有限元离散化

为了利用FEM求解方程(1)，需要将其转换为弱形式。采用伽辽金法，将方程(1)乘以任意测试函数v(x,y)，并在计算域Ω上积分：

∫Ω (∇²u + k²u - f)v dxdy = 0 (2)

利用格林公式，将二阶导数项转换为一阶导数项：

∫Ω (∇u ⋅ ∇v - k²uv + fv) dxdy - ∫∂Ω (∂u/∂n)v ds = 0 (3)

其中，∂Ω表示计算域的边界，∂u/∂n表示u在边界上的法向导数，ds表示边界线元。式(3)即为亥姆霍兹方程的弱形式。边界积分项取决于具体的边界条件。

接下来进行有限元离散化。将计算域Ω划分成若干个单元，每个单元内采用形函数插值逼近波函数u(x,y)：

u(x,y) ≈ Σᵢ Nᵢ(x,y)uᵢ (4)

其中，Nᵢ(x,y)为单元形函数，uᵢ为单元节点上的值。将式(4)代入弱形式(3)，并选择测试函数v(x,y)为形函数Nⱼ(x,y)，得到单元刚度矩阵和单元载荷向量：

Kₑ = ∫ₑ (∇Nᵢ ⋅ ∇Nⱼ + k²NᵢNⱼ) dxdy (5)

Fₑ = ∫ₑ fNⱼ dxdy (6)

其中，下标e表示单元。通过对所有单元的刚度矩阵和载荷向量进行组装，得到全局刚度矩阵K和全局载荷向量F。最终，问题转化为求解线性方程组：

Ku = F (7)

其中，u为所有节点上的波函数值组成的向量。

3. 边界条件处理

不同类型的边界条件需要采用不同的处理策略。常见的边界条件包括：

狄利克雷边界条件: 指定边界上波函数的值，例如u(x,y)|∂Ω = g(x,y)。这可以通过直接将相应的节点值赋予g(x,y)来实现。
诺依曼边界条件: 指定边界上波函数的法向导数，例如∂u/∂n|∂Ω = h(x,y)。这需要在全局刚度矩阵和载荷向量中考虑边界积分项。
罗伯逊边界条件: 是一种吸收边界条件，用于模拟无限域。该条件可以近似地吸收边界上的波，避免反射的影响。其具体实现方式较为复杂，通常需要结合特殊的边界元或高阶吸收边界条件。

4. 算法收敛性和稳定性分析

亥姆霍兹方程的有限元求解存在一些挑战，特别是对于高波数的情况。当波数k较大时，方程变得病态，容易出现数值振荡和精度下降。为了保证算法的收敛性和稳定性，需要选择合适的单元类型、网格划分策略和求解方法。例如，可以采用更高阶的形函数来提高精度，采用局部加密的网格来提高分辨率，或者采用迭代求解方法，如GMRES方法，来提高求解效率和稳定性。

5. 数值算例及结果分析

本文将采用一个数值算例来验证所提出的FEM求解器的有效性和精度。例如，可以考虑一个矩形区域内的声波传播问题，给定特定的边界条件和源项，并与解析解或其他数值方法的结果进行比较，从而验证算法的精度和收敛性。结果分析将包括误差分析、收敛性研究以及不同参数对结果的影响等方面。

6. 结论

本文详细介绍了基于有限元法的二维亥姆霍兹方程求解器。通过伽辽金法推导了弱形式，并给出了有限元离散化的具体步骤。针对不同边界条件下的求解策略进行了讨论，并分析了算法的收敛性和稳定性。数值算例验证了算法的有效性和精度。未来工作可以进一步研究更高阶单元、自适应网格技术以及并行计算技术，以提高求解效率和处理更复杂问题的能力。同时，探索更高效的求解器，例如基于多重网格方法的求解器，也是未来研究的重要方向。

📣 部分代码

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% FEM solver for 2D homogeneous Helmholtz equation on arbitrary geometry :

% Delta U + k^2 * U = 0.

% On the oundaries where we wish to apply transparent condition ABC, given

% n the outwardly normal vector of the domain, the low order absorbing

% condition (if expected) writes:

% n.grad U + ik * U = 0.

% P1 triangular elements.

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% Author: David Gasperini

% Created: 2021-05-05