AI基础数学之——掌握中学基础数学：一、代数-整式与因式分解

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AI基础数学之——掌握中学基础数学：一、代数-整式与因式分解

✨前言✨

本系列文章目的在于将 中学数学 以计算机语言的方式来完整的讲解表述出来，使得在这个学习过程中可以让在中学就开始接触计算机编程的学生们可以快速的将计算机与所学的内容联合在一起，实践出真知，天赋不是先天自来，而是后天无数次的练习，无数次的使用，每天都在用，没时都在用，每刻都在用才会让这个技能真正的变成自己的能力，这就是本系列文章的目的。

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中学数学——学习脑图

学习目标

1. 理解整式的定义和基本性质。
2. 掌握多项式展开、合并同类项及因式分解的方法。
3. 能够应用代数技巧解决实际问题。
4. 培养逻辑思维能力和数学运算能力。

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学习正文

整式的定义与示例

整式是由数字和字母通过有限次的加、减、乘（包括幂运算）得到的代数表达式，不包含除法运算或开根号。常见的整式类型包括单项式和多项式。

单项式与多项式示例

• 单项式：$3x^{2}y$, $-5ab$, $\frac{1}{2}{m}^3$
• 多项式：$4x^2-3xy+y$, $a^3+b^3+c^3$

整式的运算规则

整式的加减法通过合并同类项完成，乘法和除法则遵循分配律、结合律和幂的运算规律。

示例题：多项式展开与化简

题目1：计算 $(2x+3)(x-4)$。

• 解题思路：使用分配律将每一项相乘后相加，具体为 $2x\cdot x+2x\cdot (-4)+3\cdot x+3\cdot (-4)$。
• 计算过程：
  $$(2x)(x)=2x^2$$
  $$(2x)(-4)=-8x$$
  $$(3)(x)=3x$$
  $$(3)(-4)=-12$$
• 化简结果：
  $$2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12$$

解题技巧

在展开多项式时，注意每一项的符号变化，并按照同类项合并原则简化表达式。

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练习题

单选题

1. 下列选项中，属于单项式的是：
   a) $x^2+3$
   b) $4y$
   c) $a-b$
   答案：b) $4y$

解析：单项式是只含有一个项的代数式。只有 $4y$ 符合条件。

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2. 多项式 $3m^{2}n-mn+7$ 的次数是：
   a) 1
   b) 2
   c) 3
   答案：c) 3

解析：多项式的次数是其最高次单项式的次数。$3m^{2}n$ 是三次项，因此多项式次数为 3。

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3. 合并同类项：$5x^2y - 2x^2y = $：
   a) $3x^{2}y$
   b) $-3x^{2}y$
   c) $7x^{2}y$
   答案：a) $3x^{2}y$

解析：$5x^{2}y-2x^{2}y=(5-2)x^{2}y=3x^{2}y$。

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4. 展开 $(a+b{)}^2$ 等于：
   a) $a^2+2ab+b^2$
   b) $a^2-2ab+b^2$
   c) $a^2+ab+b^2$
   答案：a) $a^2+2ab+b^2$

解析：根据平方公式，$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$。

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5. 多项式 $x^3{y}^2$ 的系数是：
   a) 1
   b) x
   c) y
   答案：a) 1

解析：多项式中，字母部分的系数默认为 1。因此，$x^3{y}^2=1\cdot x^3{y}^2$。

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多选题

6. 下列多项式中，属于二次多项式的是：
   a) $x^2+2x-1$
   b) $xy+3y$
   c) $x^3-4$
   答案：a) 和 b)

解析：二次多项式的次数为 2。

• $x^2+2x-1$ 是二次的；
• $xy+3y$ 中，$xy$ 的次数是 2；
• $x^3-4$ 是三次多项式。

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7. 在以下选项中，属于同类项的是：
   a) $-5ab$, $+2ab$
   b) $3a^{2}b$, $-a^{2}c$
   c) $7xy$, $-10yx$
   答案：a) 和 c)

解析：同类项是指字母和指数完全相同的项。

• a) 中的 $-5ab$ 和 $+2ab$ 是同类项；
• b) 中的不同变量（b 和 c）不是同类项；
• c) 中的 $7xy$ 和 $-10yx$ 是同类项。

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8. 展开 $(x-2)(x+3)$ 的结果是：
   a) $x^2+x-6$
   b) $x^2-x-6$
   c) $x^2+5x-6$
   答案：a) $x^2+x-6$

解析：展开 $(x-2)(x+3)$：
$$\begin{gathered} =x\cdot x+x\cdot 3-2\cdot x-2\cdot 3 \\ =x^2+3x-2x-6 \\ =x^2+x-6 \end{gathered}$$

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判断题-5个（判断正误）

9. 单项式中不含有字母因数。$\boxed{✓}$

10. 多项式的次数等于其所有单项式的次数之和。$\boxed{\times }$

11. 合并同类项时，只改变系数，不改变字母及其指数。$\boxed{✓}$

12. 两个多项式相减时，相当于加上第二个多项式的相反数。$\boxed{✓}$

13. $-a+b$ 可以看作是 $b-a$ 的结果。$\boxed{✓}$

解答题

9. 化简：$4x^{2}y-3x{y}^2+2x^{2}y-x{y}^2$

   • 计算过程：
     $$(4x^{2}y+2x^{2}y)=6x^{2}y$$
     $$(-3x{y}^2-x{y}^2)=-4x{y}^2$$
   • 化简结果：$6x^{2}y-4x{y}^2$

10. 展开并化简：$(a+b)(c+d)$

    • 计算过程：
      $$ac+ad+bc+bd$$
    • 结果：$ac+ad+bc+bd$

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总结

通过本次练习，我们掌握了多项式的展开、合并同类项及基本运算规则。这些技巧是解决代数问题的基础，也是后续学习因式分解和方程求解的重要前提。