CodeForces - 140E New Year Garland (DP 计数）

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本文介绍了一种算法，用于解决用多种颜色的彩球装饰圣诞树的问题。具体包括计算合法装饰方案的数量，并通过动态规划的方法确保每层的彩球颜色各不相同，最终输出答案对特定数值取模后的结果。

题意

用m种颜色的彩球装点n层的圣诞树。圣诞树的第i层恰由l[i]个彩球串成一行，且同一层内的相邻彩球颜色不同，同时相邻两层所使用彩球的颜色集合不同。求有多少种装点方案，答案对p取模。

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题解

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int mod,m,n;
ll xx[5555],c[5555],a[5555][5555];
ll dp[2][5555];

void init(int m)
{
    a[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=5000;++i)
        for(int j=1;j<=min(m,i);++j)
            a[i][j]=(a[i-1][j]*(j-1)%mod+a[i-1][j-1]%mod)%mod;//计算一行内的合法情况
    xx[1]=m;
    for(int i=2;i<=min(m,5000);++i)
        xx[i]=(xx[i-1]*(m-i+1))%mod;//计算排列数
    c[1]=1;
    for(int i=2;i<=min(m,5000);++i)
        c[i]=(c[i-1]*i)%mod;//计算阶乘
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
    init(m);
    int l,pos=0;
    ll sum,tmp;
    for(int s=0;s<n;++s)
    {
        scanf("%d",&l);
        tmp=0;
        memset(dp[pos^1],0,sizeof(dp[pos^1]));
        if(s==0)//第一行
        {
            for(int i=1;i<=min(m,l);++i)
            {
                dp[pos^1][i]=(xx[i]*a[l][i])%mod;
                tmp=(tmp+dp[pos^1][i])%mod;
            }
        }
        else
        {
            for(int i=1;i<=min(m,l);++i)
            {
                dp[pos^1][i]=(((((((xx[i]*sum)%mod)-((c[i]*dp[pos][i])%mod))%mod)+mod)%mod)*a[l][i])%mod;
                tmp=(tmp+dp[pos^1][i])%mod;
            }
        }
        sum=tmp;
        pos^=1;//由于只要用到i与i+1两行，用两行滚动数组，节省空间
    }
    printf("%lld\n",sum);
    return 0;
}