浮点数在计算机中的表示

博客围绕一道C语言题,分析整数和浮点数在计算机中的表示差异。整数用二进制表示,而浮点数遵循IEEE 754标准,通过符号位、有效数字和指数位表示。文中详细介绍了浮点数各部分规则,还通过实例解释了二进制与十进制的转换及结果原因。

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一道C语言题:

#include <stdio.h>
int main()
{
    int num = 9;
    float *pFloat = &num;
    printf("num 的值为:%d\n",num);
    printf("*pFloat 的值为:%f\n",*pFloat);

    *pFloat = 9.0;
    printf("num 的值为:%d\n",num);
    printf("*pFloat 的值为:%f\n",*pFloat);

    return 0;
}

运行结果:

产生上述结果的原因:浮点数在计算机中的表示与整数在计算机中的表示存在差异


分析:

整数在计算机中的表示:
int num = 9;

上面这条语句声明并定义了一个整型int变量num为9;在普通的32位计算机中,用四个字节表示int,其二进制表示为:

00000000 00000000 00000000 00001001

浮点数在计算机中的表示:

根据国际标准IEEE 754,任意一个二进制浮点数V可以表示为下面这种形式:

V=(−1)s⋅M⋅2EV = (-1)^{s} · M · 2^{E}V=(1)sM2E

  • s表示符号位,s=0为正,s=1为负;
  • M为有效数字,1<=M<21<= M <21<=M<2;
  • 2E2^E2E表示指数位;

如题例,十进制的 9.09.09.0 ,写成二进制位1001.01001.01001.0,相当于:1.001⋅231.001 · 2^{3}1.00123,其中s=0,M=1.001,E=3s=0,M=1.001,E=3s=0,M=1.001,E=3;
十进制的−9.0-9.09.0,写成二进制为−1001.0-1001.01001.0,相当于:−1.001⋅23-1.001 · 2^{3}1.00123,其中s=1,M=1.001,E=3s=1,M=1.001,E=3s=1,M=1.001,E=3;

有效数字M:

IEEE 745规定,对于32位的浮点数,最高的一位是符号位s,接着的8位是指数E,剩下的23位为有效数字M:
32bIt
对于64位的浮点数来说,最高的一位仍为符号位s,接着的11位是指数E,剩下的52位为有效数字M:
64bit
另外,前面提到,1<=M<21<= M <21<=M<2,也就是说M可以写成1.x1x2x3x41.x_1x_2x_3x_41.x1x2x3x4的形式,其中x1x2x3x4x_1x_2x_3x_4x1x2x3x4表示小数部分。IEEE 754规定,在计算机内包存M时, 默认这个数的第一位为 1,因此可以被舍去,这样子就可以节省一位有效数字位,使得32(64)位浮点数可以保存24(53)位的有效数字。

指数E的情况稍微复杂一些:

首先,E是一个无符号整数(unsign int ),着意味着当E为8位时,其取值范围为0到255;若E为11位其取值范围为0到2047。但是我们知道,科学计数法中的E可以是负数,因此,E的真实值必须减去一个中间值。对于8位的E应减去127,对于11位的E应减去1023;

比如说,292^929的E是9,所以保存成32位浮点数时,必须保存为E=9+127=136E = 9+127=136E=9+127=136,即100010001000100010001000

还原E的真实值时还可以分成3种情况:

  1. E不全为0或不全为1:。这时可直接用E减去127(1023)即可得到E的真实值。
  2. E全为0。这时浮点数的指数E为1-127(1-1023),有效数字M不再加上第一位,而是还原成0.x1x2x3x40.x_1x_2x_3x_40.x1x2x3x4的小数。这样做是为了表示±0\pm0±0,以及接近于0的很小的数字。
  3. E全为1。这时如果有效数字M全为0,则表示 ±\pm± 无穷大(取决于符号位s);如果有效数字M不全为0,表示这个数是一个NaNNaNNaN

到此,回顾最初的问题。

  1. 为什么0000000000000000000000000000100100000000 00000000 00000000 0000100100000000000000000000000000001001还原成浮点数就变成了0.0000000.0000000.000000 呢???
    首先:00000000 00000000 00000000 00001001的符号位s为0表示其为正;
    再者:00000000 00000000 00000000 00001001的指数位E为00000000(全为0),符合第2种情况,还原后的E的真实值为:E=1−127=−126E=1-127=-126E=1127=126
    最后:00000000 00000000 00000000 00001001的有效数字位为:00000000000000000001001000 0000 0000 0000 0000 100100000000000000000001001
    综上:V=(−1)0⋅0.00000000000000000001001⋅2−126=1.001⋅2−146V = (-1)^{0} · 0.00000000000000000001001 · 2^{-126} = 1.001 · 2^{-146}V=(1)00.000000000000000000010012126=1.0012146
    可以看出这是一个很小的数,故用十进制表示为0.000000.

  2. 浮点数9.0如何用二进制表示,还原成十进制后为何是1092567616 呢?
    首先:浮点数9.0的二进制表示为1001.0,即为1.001⋅231.001 · 2^31.00123;符号位s=0;
    再者:有效数字M=100 0000 0000 0000 0000 0000(共23位(100后加上20个0)其中最高位1默认被省略)。
    最后:指数E=3+127=130,即E=10000010BINE = 10000010_{BIN}E=10000010BIN
    综上:浮点数9.0在计算机内的表示为:010000010001000000000000000000000 10000010 0010000000000000000000001000001000100000000000000000000,将其转化为十进制就是:1091567616

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