​​四分位数（Quartiles）概念详解​​

四分位数是描述数据分布的统计量，将一组 ​​有序数据​​ 分为四个等份，每部分包含约25%的数据点。它是分位数的一种特例（四分位即25%分位），常用于识别数据的集中趋势、离散程度和异常值。

---

​​1. 核心四分位数​​

• ​​Q1（第一四分位数）​​：
  数据中 ​​25%​​ 的值小于等于Q1，反映数据的较低部分分布。
• ​​Q2（第二四分位数）​​：
  即 ​​中位数（Median）​​，50%的数据小于等于Q2，代表数据的中等水平。
• ​​Q3（第三四分位数）​​：
  数据中 ​​75%​​ 的值小于等于Q3，反映数据的较高部分分布。

---

​​2. 计算方法​​

​​方法一：基于位置的公式（常用）​​

假设有 ​​n个有序数据​​（从小到大排列）：

• ​​Q1的位置​​ = 41​(n+1)
  若为小数，则按相邻两数的线性插值计算。
• ​​Q2的位置​​ = 42​(n+1)=2n+1​
• ​​Q3的位置​​ = 43​(n+1)

​​示例​​：数据集 [3, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 21]（n=8）

• Q1位置 = 49​=2.25 → 第2个数（7） + 0.25×(第3个数8 - 第2个数7) = ​​7.25​​
• Q2位置 = 29​=4.5 → (10 + 12)/2 = ​​11​​
• Q3位置 = 427​=6.75 → 15 + 0.75×(18 - 15) = ​​17.25​​

​​方法二：Excel/编程中的算法​​

不同工具可能采用略有差异的插值方法（如PERCENTILE.INC vs PERCENTILE.EXC）。

---

​​3. 四分位距（IQR）​​

• ​​定义​​：IQR = Q3 - Q1，表示中间50%数据的离散程度。
• ​​用途​​：
  • ​​识别异常值​​：通常将 < Q1 - 1.5×IQR 或 > Q3 + 1.5×IQR 的值视为异常值。
  • ​​箱线图（Box Plot）​​：箱体的上下边界即为Q1和Q3。

---

​​4. 实际应用场景​​

1. ​​成绩分析​​：
   • Q1=60分，Q3=85分 → 说明25%学生低于60分，25%高于85分。
2. ​​薪资调研​​：
   • Q2（中位数）比平均值更能抵抗极端高薪的影响。
3. ​​质量控制​​：
   • 监控生产数据是否超出IQR范围，识别异常生产批次。

---

​​5. 与其他分位数的关系​​

• ​​百分位数（Percentile）​​：四分位数是百分位数的特例（Q1=P25，Q2=P50，Q3=P75）。
• ​​十分位数（Decile）​​：将数据分为10等份（如D1=P10）。

---

​​总结​​

四分位数通过 ​​三个关键点（Q1、Q2、Q3）​​ 和 ​​IQR​​，简洁地揭示数据的分布特征，是描述性统计中的核心工具之一。它的优势在于不受极端值影响，适用于非对称分布的数据分析。