【2024认证杯小美赛A题】完整解析与代码分享（独家思路）

1 问题的概要

1.1 问题 1：小行星带对地球的威胁评估

要求：评估木星在小行星带条件下对地球的保护和威胁作用。
任务：

1. 分析木星对位于其轨道内侧小行星的引力效应。
2. 研究其对小行星轨道稳定性的影响。
3. 建立数学模型，评估木星是保护者还是威胁者。

1.2 问题 2：奥尔特云对地球的威胁分析

要求：假设威胁来源于奥尔特云，评估木星对地球的保护性或威胁性影响。
任务：

1. 分析奥尔特云彗星轨道的扰动效应。
2. 评估木星对奥尔特云小天体的引力作用及其结果。
3. 构建模型，量化威胁或保护的程度。

1.3 问题 3：木星质量和轨道变化对威胁的影响

要求：研究木星质量和轨道变化对小行星或彗星流入太阳系内部的影响。
任务：

1. 假设木星质量或轨道发生微小调整。
2. 模拟变化后小天体进入太阳系内部的可能性。
3. 确定导致显著影响的临界点或阈值。

2 问题 1：小行星带对地球的威胁评估

2.1 问题概要

木星作为太阳系中的巨行星，其引力场对小行星带天体具有重要影响。小行星带位于火
星与木星之间，其天体可能因木星的引力扰动而偏离稳定轨道，进入地球轨道，造成潜在威
胁。同时，木星的引力也可能在一定程度上保护地球，减少小行星撞击的概率。本问题旨在
建立数学模型，量化木星在小行星带条件下对地球的保护性和威胁性。

2.2 数学模型

2.2.1 木星引力场的作用

木星对小行星带内天体的引力效应可用经典引力公式表示：

小行星所受的净引力由太阳引力和木星引力共同决定：

2.2.2 轨道扰动模型

小行星在木星引力作用下轨道半长轴 a 和偏心率 e 的变化由以下公式描述：

2.2.3 轨道稳定性参数

2.2.4 小行星撞击概率

2.3 求解方法

1. 初始条件设置：
   • 生成小行星带的初始轨道分布，包括半长轴 a 和偏心率 e 的分布。
   • 设置木星的轨道参数和质量 MJ。
2. 数值求解：
   • 基于木星引力场模型，采用龙格-库塔法求解轨道变化方程 a˙ 和 e˙。
   • 计算轨道稳定性参数 γ 和撞击概率 Pimpact。
3. 数据统计与分析：
   • 统计小行星轨道是否进入地球轨道。
   • 对比木星质量与轨道参数变化对轨道扰动的影响。

2.4 结果分析

• 保护作用：木星对部分小行星轨道的引力稳定作用显著减少小行星进入地球轨道的概
率。
• 威胁作用：木星对部分小行星的轨道扰动可能导致其偏离稳定轨道，增加撞击地球的
可能性。
• 综合评估：通过模拟结果计算木星对地球的净保护性和威胁性，得到在小行星带条件
下木星作用的量化结果。

代码

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体显示中文
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题
# 定义常量
G = 6.67430e-11  # 引力常数 (m^3 kg^-1 s^-2)
M_sun = 1.989e30  # 太阳质量 (kg)
M_jupiter = 1.898e27  # 木星质量 (kg)
R_jupiter = 7.78e11  # 木星轨道半径 (m)


# 小行星轨道初始条件
def asteroid_dynamics(t, y):
    x, y, vx, vy = y
    r_sun = np.sqrt(x ** 2 + y ** 2)
    r_jupiter = np.sqrt((x - R_jupiter) ** 2 + y ** 2)

    # 计算太阳和木星的引力
    ax = -G * M_sun * x / r_sun ** 3 - G * M_jupiter * (x - R_jupiter) / r_jupiter ** 3
    ay = -G * M_sun * y / r_sun ** 3 - G * M_jupiter * y / r_jupiter ** 3
    return [vx, vy, ax, ay]


# 设置初始条件和时间范围
y0 = [2.5e11, 0, 0, 3e4]  # [x, y, vx, vy]
t_span = (0, 3.15e7)  # 模拟一年 (s)
t_eval = np.linspace(*t_span, 1000)

# 数值求解轨道方程
solution = solve_ivp(asteroid_dynamics, t_span, y0, t_eval=t_eval)

# 提取解并绘制轨道
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(solution.y[0], solution.y[1], label='小行星轨道')
plt.scatter(0, 0, c='yellow', label='太阳', s=100)
plt.scatter(R_jupiter, 0, c='orange', label='木星', s=50)
plt.xlabel('x (m)')
plt.ylabel('y (m)')
plt.title('小行星轨道模拟')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

3 问题 2：奥尔特云对地球的威胁分析

完整论文与代码请看文章最后~