高等数学系列一：中学回顾

高等数学系列一：中学回顾

1. 邻域

U ( a , δ ) ≜ { x   ∣    ∣ x − a ∣ < δ } = ( a − δ , a + δ ) U(a,\delta)\triangleq \{x\ |\ \ |x-a|<\delta\}=(a-\delta,a+\delta) U(a,δ)≜{x ∣  ∣x−a∣<δ}=(a−δ,a+δ)

$U(a,\delta )$为a的$\delta$邻域
U ˚ ( a , δ ) ≜ { x ∣ 0 < ∣ x − a ∣ < δ } \mathring{U}(a,\delta)\triangleq \{x|0<|x-a|<\delta\} U˚(a,δ)≜{x∣0<∣x−a∣<δ}

$\mathring{U}(a,\delta )$为a的去心$\delta$邻域，左邻域，右邻域

2.初等特性

①奇偶性

$y=f(x),x\in D,D关于原点对称$

若$\begin{cases} f(-x)=-f(x)\text{, $y=f(x)为奇函数$} \ f(-x)=f(x)\text{, $y=f(x)为偶函数$}\end{cases}$

反函数：函数单调

$y=f(x)(x\in D)$

$y=f(x)\Rightarrow x=\varphi (y)$

例1. $y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

①奇偶性

$x\in (-\infty ,+\infty )$,$x$关于原点对称

$$\begin{gathered} f(-x)=\ln -x+\sqrt{x^2+1} \\ =\ln \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \\ =-ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ =-f(x) \end{gathered}$$

$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$是奇函数

②反函数

$\{\begin{array}{l}x+\sqrt{x^2+1}=e^y①\\ -x+\sqrt{x^2+1}=e^{-y}②\end{array}$

$①-②\Rightarrow 2x=e^y-e^{-y}\Rightarrow x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$

反函数为：$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$

②有界性

$y=f(x)(x\in D)$

当$\exists M>0,\forall x\in D$,有$|f(x)|\le M$

则$f(x)$在$D$上有界

若$f(x)\ge M_1$,则$f(x)$有下界或

若$f(x)\le M_2$,则$f(x)$有上界

例.

$-2\le f(x)\le 3\Rightarrow |f(x)|\le 3$

③增减性

$y=f(x)(x\in D)$

若$\forall x_1,x_2\in D且x_1<x_2$,有$f(x_1)<f(x_2)$

则$y=f(x)$在$x\in D$上严格递减

另有单调递增，单调不减，单调不增

3.几个特殊函数

①符号函数

$sgn(x)\triangleq \{\begin{array}{l}-1x<0\\ 0x=0\\ 1x>0\end{array}$

例.

$|x|=x\times sng(x)$

②取整函数

$[x]\triangleq$最接近$x$左边的整数，即向下取整

• $[x]\le x$

• $[x+m]=[x]+mm\in Z$

• $[x+y]\ne [x]+[y]$

  $$\begin{gathered} [0.5+0.7]=1 \\ [0.5]+[0.7]=0 \end{gathered}$$

③Dirichlet函数

$D(x)\triangleq \{\begin{array}{l}1x\in \Theta \\ 0x\in R|\Theta \end{array}$