初等数学-第一周

原创已于 2022-05-08 23:02:37 修改 · 329 阅读

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#初等数学

于 2022-05-01 18:46:41 首次发布

本文介绍了集合的交并补运算，以及不等式的性质和解法，包括一元二次不等式的解集判断。此外，还涉及了函数图像、奇偶性和单调性的概念，是一篇数学基础的总结。

集合

关系：交∩，并∪，补(集合A在全集U中的补集为：集合U中除去集合A的部分，写作CuA)

- 相关技巧

(a+b)^2  = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(ax + b)(cx + d) = 0:
ax			b
cx			d
ax*cx + (ax*d + cx*b) + b*d = 0;
反过来，类似于 ax^2 + bx + c = 0 这类的式子，
可以逆向拆出 (ax + b)(cx + d) = 0 这样的形式进行解析

不等式

传递性:
a > b, b > c  ===> a > c

a > b ===> a+c > b+c

a > b, c > 0  ===> ac > bc
a > b, c < 0  ===> ac < bc

a > b > 0, c > d > 0 ===> ac > bd

用区间表示数时，要遵循左小右大的原则

* 一元二次不等式

一般地，二次函数 y = ax² + bx + c (a > 0) 的图像是开口向上的抛物线。
设：△ = b² - 4ac ;

如果 △ > 0， 则 抛物线 y = ax² + bx + c 与x轴有2个交点，
方程有两个不相等的实根x1 与 x2 （x1 < x2) , 
不等式 ax² + bx + c > 0 的解集是 (-无穷,x1)∪(x2,+无穷);
而不等式ax² + bx + c < 0 的解集是(x1,x2).

如果 △ = 0, 则抛物线 y = ax² + bx + c 与x轴有1个交点，
方程有两个相等的实根x1 = x2  = -(b/2a),
不等式 ax² + bx + c > 0 的解集是 (-无穷,x1)∪(x2,+无穷);
而不等式ax² + bx + c < 0 的解集是∅.

如果 △ < 0, 则抛物线 y = ax² + bx + c 与x轴有无交点，
即方程 ax² + bx + c = 0 无实根，
不等式 ax² + bx + c > 0 的解集是R;
而不等式ax² + bx + c < 0 的解集是∅.

二次项系数是负数的不等式，可以先优化成二次系数是正数的不等式，在求解。
如 不等式两边同时乘以 -1 ，然后通过移项、合并同类项等方式来求解。

穿针引线法
使用穿针引线法解题

函数

一次函数图像：
y = kx + b

k为直线斜率，实际为tan(直线与x轴的夹角)
直线过(0,b)点

二次函数图像：
y = ax^2 + bx + c

a 决定函数图形的开口方向， a > 0时开口向上，a < 0时开口向下.
对称轴为 -(b/2a).
图像一定过(0,c)点

函数奇偶性:
f(x) = f(-x) 偶函数，图像关于y轴对称，如y = x^2.
f(x) = - f(x) 奇函数, 图像关于 y = x 对称，如 y = x^3

函数单调性:

注意函数的定义域和值域，如：分母式不能为0，二次根号下不能为负数等。
写单调域的时候，注意是否包含临界点。