母函数定义以及习题练习

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原创最新推荐文章于 2026-09-04 16:16:14 发布 1.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

母函数学习及例题讲解 母函数学习及例题讲解杭电2082 找单词 acm 算法 母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进。（百度百科）简而言之，母函数在组合数学中运用了十分巧妙的方法简化了问题，或者说找到了问题的等价映射，这个时候就要列出是谁发现了这么个玩意，因为学了下面的你会知道母函数是何等的有用与神奇。阅读详情

定义

对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
这里写图片描述
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数

实例分析

例1:若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？
如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。
如果用x的指数表示称出的重量，则：
1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x3)(1+x^3+x4+x^7)
=1+x+x^2+2x3+2x^4+2x5+2x^6+2x7+x^8+x9+x^10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。
例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1
例2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数——
因邮票允许重复，故母函数为：

这里写图片描述
以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

思路:

母函数模板题:
整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数

Code:

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define M 120
int c1[M+1],c2[M+1];
void solve()
{
    int i,j,k;
/*首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x+..x)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.*/ 
    for(i=0;i<=M;++i)   
        c1[i]=1;
/*i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。*/
    for(i=2;i<=M;++i)
    {
/*j 从0到n遍历，这里j就是(前面i个表达式累乘的表达式)里第j个变量。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。.*/
        for(j=0;j<=M;++j)
        {
            /* k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。*/
            for(k=0;k+j<=M;k+=i)
            {
                c2[j+k]+=c1[j];
            }
        }
        /*把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的[2] */
        for(j=0;j<=M;++j)
        {
            c1[j]=c2[j];
            c2[j]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    solve();
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        printf("%d\n",c1[n]);
    return 0;
}