母函数详解

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母函数(Generating function)详解
BY
TANKY WOO
– 2010年08月2日POSTED IN: 我的原创|MY ORIGINAL CREATION, 算法|ALGORITHMS
 

 
最近更新：2011.4.3
 
前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。
 
在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
 
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
 
我们首先来看下这个多项式乘法：  （以下图片都可以点击放大）

 


 
1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。
2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
 
这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：
 
1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。
 
所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？
 
接着上面，接下来是第二种情况：
 
现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：
#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001; 
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];   
int main()
{	//int n,i,j,k;
	int nNum;   // 
	int i, j, k;
 
	while(cin >> nNum)
	{
		for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
		{
			c1[i] = 1;
			c2[i] = 0;
		}
		for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
		{
 
			for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
				for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
				{
					c2[j+k] += c1[j];
				}
			for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
			{
				c1[j] = c2[j];
				c2[j] = 0;
			}
		}
		cout << c1[nNum] << endl;
	}
	return 0;
}

 

  ③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面i個表達式累乘的表達式)里第j个变量，(這裡感謝一下seagg朋友給我指出的錯誤，大家可以看下留言處的討論)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为
 
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。.
 
咱们赶快趁热打铁，来几道题目：
 
附：
母函数（Generating function）详解
1.鉴于文章图片和排版的问题，对文章进行了重新编辑。
2.看见网上很多朋友在转载时不尊重别人的劳动成果，任意删除文章里关于作者的信息，希望大家在转载时保留文章所有信息，遵守版权规定。
(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”
“母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “
图一
由此可以看出:
由此得到：
图二
母函数的定义：
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
图三
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来解决这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，
上面这四个式子懂吗？
我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来“
这里说下各项系数的意义：
在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何？结合数学式子)。
Tanky Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
图四
以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
图五
我们来解释下上面标志的各个地方：(***********！！！重点！！！***********)
①  、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
②  、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
④ 、 k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
⑤  、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的
（相应题目解析均在相应的代码里分析）
1.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
代码：http://www.wutianqi.com/?p=587
这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!
看看这题：
2.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
代码：http://www.wutianqi.com/?p=590
要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时（可以参考我的资料—《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~
3.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
代码：http://www.wutianqi.com/?p=592
这题终于变化了一点，但是万变不离其中。
大家好好分析下，结合代码就会懂了。
4.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171
代码：http://www.wutianqi.com/?p=594
还有一些题目，大家有时间自己做做：
HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152
（原创文章，欢迎各位转载，但是请不要任意删除文章中链接，请自觉尊重文章版权，违法必究，谢谢合作。Tanky Woo原创, www.WuTianQi.com）
1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0
2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：
http://www.matrix67.com/blog/archives/120
3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。