二次筛法Quadratic Sieve因子分解法----C语言实现

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已于 2025-08-14 15:27:50 修改 · 391 阅读

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于 2025-08-13 22:04:23 首次发布

二次筛法（Quadratic Sieve）是一种高效的大整数分解算法，常用于密码学和数论领域。它通过筛选光滑数（smooth numbers）并求解线性方程组来寻找整数的因子。下面我将逐步详解其原理，确保解释清晰易懂。

目标：分解一个合数 $n$（例如 $n = pq$，其中 $p$ 和 $q$ 是大质数）。
核心思想：利用二次同余方程生成一系列值，筛选出那些在指定因子基上光滑的数，然后通过线性代数求解得到因子。
关键术语：
- 因子基（Factor Base）：一个包含小质数的集合 $B = {p_1, p_2, \dots, p_k}$，其中 $p_i$ 是质数，通常选择 $p_i \leq B$（$B$ 是一个预设的界限）。
- $B$-光滑数：一个整数，其所有质因子都小于或等于 $B$。例如，如果 $B=10$，则 30 是光滑的（因为 $30 = 2 \times 3 \times 5$），但 14 不是（因为 $14 = 2 \times 7$，7 > 10）。
算法优势：二次筛法比简单试除法快得多，尤其适合大 $n$，时间复杂度约为 $O(e^{\sqrt{\ln n \ln \ln n}})$。

二次筛法分为六个主要步骤。我将以分解 $n = 221$ 为例辅助说明（实际中 $n$ 更大，但原理相同）。

选择一个光滑界限 $B$（例如 $B=20$），然后构建因子基 $B$，包含所有小于或等于 $B$ 的质数，同时满足 Legendre 符号条件：$\left(\frac{n}{p}\right) = 1$（即 $n$ 是模 $p$ 的二次剩余）。
数学表达：
$$B = { p \mid p \leq B, p \text{ 是质数}, \left(\frac{n}{p}\right) = 1 }$$
示例：对于 $n=221$，$B=10$，因子基 $B = {2, 5, 11}$（因为 $\left(\frac{221}{2}\right)=1$, $\left(\frac{221}{5}\right)=1$, $\left(\frac{221}{11}\right)=1$，但 3 和 7 不满足）。

定义二次多项式 $Q(x)$，其中 $m = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$（即 $\sqrt{n}$ 的整数部分）。 $$Q(x) = (x + m)^2 - n$$
该多项式生成的值 $Q(x)$ 可能接近平方数，便于筛选光滑数。
数学性质：如果 $Q(x)$ 是光滑的，则 $(x + m)^2 \equiv n \pmod{Q(x)}$，这为后续同余关系提供基础。
示例：$n=221$，$m = \lfloor \sqrt{221} \rfloor = 14$，所以 $Q(x) = (x + 14)^2 - 221$。

在区间 $x \in [-M, M]$（$M$ 是预设范围，如 $M=100$）内计算 $Q(x)$，并筛选出所有 $B$-光滑的值。
筛法机制：对于每个质数 $p$ 在因子基中，求解 $Q(x) \equiv 0 \pmod{p}$ 的根（使用模 $p$ 的二次方程）。然后，在 $x$ 值序列中标记这些根的位置，并累积对数或值来识别光滑数。
- 具体操作：初始化一个数组存储 $\ln |Q(x)|$，对于每个 $p$，在根 $x \equiv r \pmod{p}$ 处减去 $\ln p$。最终，值接近 0 的 $x$ 对应光滑的 $Q(x)$。
数学优化：筛法减少计算量，只检查可能光滑的 $x$。
示例：对 $n=221$，计算 $x$ 从 -5 到 5：
- $x=1$: $Q(1) = (1+14)^2 - 221 = 225 - 221 = 4 = 2^2$（光滑，因子在 $B={2,5,11}$）。
- $x=-3$: $Q(-3) = (-3+14)^2 - 221 = 121 - 221 = -100 = -1 \times 2^2 \times 5^2$（光滑，忽略符号）。

收集所有光滑的 $Q(x)$，记录为向量：每个光滑关系对应一个指数向量 $\mathbf{v} = (e_1, e_2, \dots, e_k) \mod 2$，其中 $e_i$ 是因子基中质数 $p_i$ 在 $Q(x)$ 中的指数模 2。
- 向量构建：如果 $Q(x) = \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$，则 $\mathbf{v} = (e_1 \mod 2, e_2 \mod 2, \dots, e_k \mod 2)$。
目标：得到多个光滑关系，使得它们的向量线性相关（模 2）。
数学关键：光滑关系数量需大于因子基大小，才能求解方程组。
示例：对 $n=221$，光滑关系：
- $x=1$: $Q(1)=4=2^2$ → 向量 $\mathbf{v}_1 = (0, 0, 0)$（因为指数模 2：2 mod 2=0 对于 $p_1=2$；其他质数指数为 0）。