Least Angle Regression

Efron B, Hastie T, Johnstone I M, et al. Least angle regression[J]. Annals of Statistics, 2004, 32(2): 407-499.

引

在回归分析中，我们常常需要选取部分特征，而不是全都要，所以有前向法，后退法之类的，再根据一些指标设置停止准则。作者提出了一种LARS的算法，能够在有限步迭代后获得很好的结果，而且这种算法能够和LASSO和stagewise结合，加速他们的算法。在我看来，更为重要的是，其背后的几何解释。

可惜的是，证明实在太多，这方面的只是现在也不想去回顾了，就只能孤陋地把一些简单的东西记一下了。

一些基本的假设

上表，是作者进行比较实验的数据集，注意上面的符号：
令$X$表示变量集，以$x_{ij}$表示其中的第ij个元素，即第i个病人的第j个指标，用$x_i$表示第i个协变量，就是矩阵$X$的第i列，用$y$来表示应变量，且假设(事实上进行预处理，标准化）：

线性回归，其系数假设为$\beta =({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_m{)}^{\prime }$,给出预测向量$\mu$，则：
$$\mu =\sum _{j=1}^m{x}_j{\beta }_j=X\beta ,[X_{n\times m}=(x_1,x_2,\dots ,x_m)]$$
均方误差为：
$$S(\beta )=\Vert y-\mu {\Vert }^2=\sum _{i=1}^n(y_i-{\mu }_i{)}^2$$

用$T(\beta )$表示$\beta$的${\ell }_1$范数：
$$T(\beta )=\sum _{j=1}^m|{\beta }_j|.$$
那么，Lasso通过下式求解：

而Forward Stagewise，以$\hat{\mu }=0$开始，令：

表示当前X与$y-\hat{\mu }$的关系，其中$X^{\prime }$表示$X$的转置。
下一步，前进法选择当前关系中最大的部分：

注意到:
$${\hat{c}}_j=x_j^{\prime }(y-{\hat{\mu }}_{old})-ϵ\cdot sign({\hat{c}}_{\hat{j}})={\hat{c}}_{\hat{j}}-ϵ\cdot sign({\hat{c}}_{\hat{j}})$$
所以，如果$ϵ=|{\hat{c}}_{\hat{j}}|$，那么${\hat{c}}_j=0$，这个时候，stagewise就成了普通的前进法了，这个方法是过拟合的（不懂啊，照本宣科，所以$ϵ$改怎么选，我也不知道啊）。

文章给了俩种方法的一个比较：

俩个的效果是差不多的，但是，需要注意的是，这俩种方法的迭代次数是不定的。

LARS算法

我们从2个特征开始讨论，$\bar{y}$是$y$在$x_1,x_2$子空间的投影，以${\hat{\mu }}_0=0$为起点，此时${\bar{y}}_2$与$x_1$的角度更加小(以锐角为准），所以，${\hat{\mu }}_1=\gamma x_1$，相当于我们选取了特征$x_1$, 也就是说${\beta }_1=\gamma$。
现在的问题是，$\gamma$该怎么选呢，LARS是这么选的，$\gamma$使得${\bar{y}}_2-{\hat{\mu }}_1$与$x_1,x_2$的角度相等，因为这个点俩个特征的重要性是一致的。接着${\hat{\mu }}_2={\hat{\mu }}_1+{\gamma }_2{u}_2$,${\gamma }_2{u}_2={\bar{y}}_2-{\hat{\mu }}_1$。
这么做，我们将$y$在子空间中的投影${\bar{y}}_2$抵消了。

为了将这种思想推广到更多特征，需要介绍一些符号和公式。

注意，公式(2.6)中的$G_{\mathcal{A}}^{-1}={\mathcal{G}}_{\mathcal{A}}^{-1}$。

假设${\hat{\mu }}_{\mathcal{A}}$是当前的LARS的估计，那么：

指示集$\mathcal{A}$是由下式定义的：

令：

注意，这样子，就能令$s_j{x}_j^{\prime }(y-{\hat{\mu }}_{\mathcal{A}})=|{\hat{c}}_j|,j\in \mathcal{A}$
用$X_{\mathcal{A}},A_{\mathcal{A}},u_{\mathcal{A}}$依照上面定义，令：

于是，下一步的更新为：

现在的问题是$\hat{\gamma }$应该怎么选，我们先来考察$c_j(\gamma )$:

所以，对于$j\in \mathcal{A}$, $c_j(\gamma )$的变换程度是一致的：

$\gamma \ge 0,A_{\mathcal{A}}\ge 0$,(后者是公式所得，前者是为了减少相关度所必须的)，所以，当$\gamma$从0开始慢慢增大的时候，$|c_j(\gamma )|$也会慢慢变小，到一定程度，势必会有$j\in {\mathcal{A}}^c$, 使得$\hat{C}-\gamma A_{\mathcal{A}}\le |c_j(\gamma )|$，换句话说，我们只要找到$\hat{C}-\gamma A_{\mathcal{A}}=|c_j(\gamma )|,j\in {\mathcal{A}}^c$的最小$\gamma$,且$\gamma >0$，否则，$\gamma =0$：
$$\begin{gathered} \hat{C}-\gamma A_{\mathcal{A}}=|c_j(\gamma )|,j\in {\mathcal{A}}^c \\ \Rightarrow \hat{C}-\gamma A_{\mathcal{A}}={\hat{c}}_j-\gamma a_j|-{\hat{c}}_j+\gamma a_j \\ \Rightarrow \gamma =\frac{\hat{C}-{\hat{c}}_j}{A_{\mathcal{A}}-a_j}|\frac{\hat{C}-{\hat{c}}_j}{A_{\mathcal{A}}+a_j} \end{gathered}$$
总结来说，就是:

其中$+$表示，如果后半部分的结果均小于0，那么$\hat{\gamma }=0$。
这么做，我们就将$c_j(\gamma )$一直降，降到有一个和他们一样，假设这个$j\in {\mathcal{A}}^c$为$j^{\ast }$,于是下一步更新的时候，我们需要将这个加入到$\mathcal{A}$, A = A ∪ { j ∗ } \mathcal{A}= \mathcal{A} \cup \{j^*\} A=A∪{j∗}。

假设在LARS的第k步：

用$X_k,{\mathcal{G}}_k,A_k$和${\mu }_k$是第k步的类似的定义，注意，我们省略了$\mathcal{A}$。
用${\bar{y}}_k$来表示$y$在子空间$\mathcal{L}(X_k)$的投影，既然${\hat{\mu }}_{k-1}\in \mathcal{L}(X_{k-1})$（因为起点为0），所以：

第一个等式后的第二项是$y-{\hat{\mu }}_{k-1}$在子空间$\mathcal{L}(X_k)$中的投影，第二个等式从(2.6)可以推得：
$$u_k=X_k{A}_k{\mathcal{G}}_k^{-1}{1}_k$$
又根据(2.18）便可得证。根据(2.19)可得：

又${\hat{\gamma }}_k{u}_k={\hat{\mu }}_k-{\hat{\mu }}_{k-1}$：

这说明，每一次更新时，变化的向量时沿着$\overline{(}y{)}_k-{\hat{\mu }}_{k-1}$的。
我们通过一个图片来展示：

上图，我们要处理的时${\bar{y}}_3$，在以及处理${\bar{y}}_2$的基础上，我们看到，最后变化的量是在${\bar{y}}_3-{\hat{\mu }}_2$方向上。

算法

顺便整理下算法吧，以便以后用，符号就用自己的了：

---

Input: 标准化后的$X=[x_1,x_2,\dots ,x_m]$和$y=[y_1,\dots ,y_n{]}^T$, 特征数$r$;
令：${\mu }_{\mathcal{A}}=0,\beta =[0,0,\dots ,0]\in {\mathbb{R}}^m$;
计算$c=X^{T}y$, 找出其中绝对值最大的元素，令其指标集为$\mathcal{A}$,最大值为$C$，令
$X_{\mathcal{A}}=[\dots ,s_j{x}_j,\dots {]}_{j\in \mathcal{A}}$, ${\mathcal{G}}_{\mathcal{A}}=X_{\mathcal{A}}^T{X}_{\mathcal{A}},A_{\mathcal{A}}=(1_{\mathcal{A}}^T{{\mathcal{G}}_{\mathcal{A}}}^{-1}{1}_{\mathcal{A}}{)}^{-1/2}$, ${\mathrm{u}}_{\mathcal{A}}=X_{\mathcal{A}}{w}_{\mathcal{A}},w_{\mathcal{A}}=A_{\mathcal{A}}{{\mathcal{G}}_{\mathcal{A}}}^{-1}{1}_{\mathcal{A}}$
For $k=1,2,\dots ,r$:
1. 根据公式(2.13)计算$\hat{\gamma }$,记录相应的$j$,如果$\hat{\gamma }=0$，停止迭代。
2. ${\mu }_{\mathcal{A}}={\mu }_{\mathcal{A}}+\hat{\gamma }{\mathrm{u}}_{\mathcal{A}}$
3. $\beta =\beta +\hat{\gamma }{w}_{\mathcal{A}}\otimes s_{\mathcal{A}}$
4. 更新 A = A ∪ { j } \mathcal{A}=\mathcal{A} \cup \{j\} A=A∪{j},$C=C-\hat{\gamma }{A}_{\mathcal{A}}$,$c=X^T(y-{\mu }_{\mathcal{A}})$
5. 更新$X_{\mathcal{A}},{\mathcal{G}}_{\mathcal{A}},A_{\mathcal{A}},{\mathrm{u}}_{\mathcal{A}}$
输出：$\beta ,{\mu }_{\mathcal{A}}$

---

注意，上面的$w_{\mathcal{A}}\otimes s_{\mathcal{A}}$表示对于元素相乘, $s_{\mathcal{A}}$表示对应的符号。还有，如果$r=m$，那么上面的迭代只能进行到$r-1$步，最后一步可以根据公式(2.19)的分解来，在代码中予以了实现。

不过，利用代码进行实验的时候，发现这俩个好像不大一样

我感觉没有错。

与别的方法结合

LARS与LASSO的关系

通过对$\gamma$的调整， 利用LARS也能求解LASSO，证明并没有去看。

可以证明，如果$\hat{\beta }$是通过LASSO求得的解，那么：

令$d_j=s_j{w}_{\mathcal{A}j},j\in \mathcal{A}$,那么对于任意的$j\in \mathcal{A}$：

因此，${\beta }_j(\gamma )$改变符号发生在：

第一次改变符号发生在：

如果，所有的${\gamma }_j$均小于0，那么$\tilde{\gamma }=+\infty$。
也就是说，如果$\tilde{\gamma }<\hat{\gamma }$，为了使得$\beta$和$c$符号保持一致，我们应当选择前者作为此次的更新步长，同时将$j$从$\mathcal{A}$中移除。

LARS 与 Stagewise

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class LARS_LASSO:

    def __init__(self, data, response):
        self.__data = data
        self.__response = response
        self.n, self.m = self.data.shape
        self.mu = np.zeros(self.n, dtype=float)
        self.beta = np.zeros(self.m, dtype=float)
        self.compute_c()
        self.compute_index()
        self.compute_basic()
        self.progress_beta = []
        self.progress_mu = []


    @property
    def data(self):
        return self.__data

    @property
    def response(self):
        return self.__response

    def compute_c(self):
        """计算关系度c"""
        self.c = self.data.T @ (self.response-self.mu)

    def compute_index(self):
        """找出最大值C和指标集A，以及sj"""
        self.index = [np.argmax(np.abs(self.c))]
        newc = self.c[self.index]
        self.maxC = np.abs(newc[0])
        sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1.
        self.s = np.array(
            [sign(item) for item in newc],
            dtype=float
        )

    def compute_basic(self):
        """计算一些基本的东西
        index_A: A_A
        index_w: w_A
        index_u: u_A
        """
        index_X = self.data[:, self.index] * self.s
        index_G = index_X.T @ index_X
        index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
        self.index_A = 1 / np.sqrt(np.sum(index_G_inv))
        self.index_w = np.sum(index_G_inv, 1) * self.index_A
        self.index_u = index_X @ self.index_w

    def update_c(self):
        """更新c"""
        self.compute_c()

    def update_index(self, j):
        """更新指示集合
        index:  指示集合A
        maxC: 最大的c
        s: 符号
        """
        if j in self.index:
            self.index.remove(j)
        else:
            self.index.append(j)
            self.index.sort()
        newc = self.c[self.index]
        self.maxC = np.abs(newc[0])
        sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1.
        self.s = np.array(
            [sign(item) for item in newc],
            dtype=float
        )

    def update_basic(self):
        """更新基本的东西"""
        self.compute_basic()

    def current_gamma(self):
        """找第一次改变符号的位置"""
        const = 999999999.
        d = self.s * self.index_w
        index_beta = self.beta[self.index]
        z = []
        for i in range(len(d)):
            if -index_beta[i] * d[i] <= 0:
                z.append(const)
            else:
                z.append(-index_beta[i] / d[i])
        z = np.array(z, dtype=float)
        label = np.argmin(z)
        themin = z[label]

        return themin, self.index[label]


    def step(self):
        """操作一步"""
        const = 9999999999.
        def divide(x, y):
            z = []
            for i in range(len(x)):
                if x[i] * y[i] <= 0:
                    z.append(const)
                else:
                    z.append(x[i] / y[i])
            return z

        complement_index = list(set(range(self.m))
                                - set(self.index))
        a = self.data.T @ self.index_u
        complement_a = a[complement_index]
        complement_c = self.c[complement_index]
        index_reduce_a = self.index_A - complement_a
        index_plus_a = self.index_A + complement_a
        maxC_reduce_c = self.maxC - complement_c
        maxc_plus_c = self.maxC + complement_c
        min1 = divide(maxC_reduce_c, index_reduce_a)
        min2 = divide(maxc_plus_c, index_plus_a)
        totalmin = np.array(
            [min1, min2]
        )
        allmin = np.min(totalmin, 0)
        min_beta, label2 = self.current_gamma()
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))
        try:
            label = np.argmin(allmin)
        except ValueError:
            index_X = self.data[:, self.index] * self.s
            index_G = index_X.T @ index_X
            index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
            deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu)
            self.mu = self.mu + index_X @ deltau
            self.beta = self.beta + deltau * self.s
            return 0
        print(min_beta, allmin[label])
        if min_beta < allmin[label]:
            gamma = min_beta
            j = label2
        else:
            gamma = 0. if allmin[label] == const else allmin[label]
            j = complement_index[label]
        self.mu = self.mu + gamma * self.index_u
        self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + (self.s * self.index_w) * gamma
        if self.life == 0:
            return 1
        self.update_c()
        self.update_index(j)
        self.update_basic()
        return 1

    def process(self, r=1):
        self.life = r
        for i in range(r):
            self.life -= 1
            print("step:", i)
            self.step()
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))
        index_X = self.data[:, self.index] * self.s
        index_G = index_X.T @ index_X
        index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
        deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu)
        self.mu = self.mu + index_X @ deltau
        self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + deltau * self.s
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))


    def plot(self):
        """plot beta, error"""
        fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2,
                               figsize=(10, 5), constrained_layout=True)
        beta = np.array(self.progress_beta)
        mu = np.array(self.progress_mu)
        r, m = beta.shape
        error = np.sum((mu - self.response) ** 2, 1)
        x = np.arange(1, r+1)
        for i in range(m):
            y =  beta[:, i]
            ax[0].plot(x, y, label="feature{0}".format(i))
            ax[0].text(x[-1]+0.05, y[-1], str(i))
        ax[0].set_title(r"$\beta$ with iterations")
        ax[0].set_xlabel(r"iterations")
        ax[0].set_ylabel(r"$\beta$")
        ax[0].legend(loc="best", ncol=2)
        ax[1].plot(x, error)
        ax[1].set_title("square error with iterations")
        ax[1].set_xlabel("iterations")
        ax[1].set_ylabel("square error")
        plt.show()



data1 = np.loadtxt("C:\\Users\\pkavs\\Desktop\\diabetes.txt", dtype=float)
mu = np.mean(data1, 0)
std = np.std(data1, 0)
data1 = (data1 - mu) / std
data = data1[:, :10]
response = data1[:, 10]
test = LARS_LASSO(data, response)
test.process(r=7)
test.plot()
print(test.progress_beta)

"""
跟论文有出路，实验的时候并没有删除的过程，好像是要在
全部特征的基础上，再进行一步，不过机制不想改了，就这样吧
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


class LARS_LASSO:

    def __init__(self, data, response):
        self.__data = data
        self.__response = response
        self.n, self.m = self.data.shape
        self.mu = np.zeros(self.n, dtype=float)
        self.beta = np.zeros(self.m, dtype=float)
        self.compute_c()
        self.compute_index()
        self.compute_basic()
        self.progress_beta = []
        self.progress_mu = []


    @property
    def data(self):
        return self.__data

    @property
    def response(self):
        return self.__response

    def compute_c(self):
        """计算关系度c"""
        self.c = self.data.T @ (self.response-self.mu)

    def compute_index(self):
        """找出最大值C和指标集A，以及sj"""
        self.index = [np.argmax(np.abs(self.c))]
        newc = self.c[self.index]
        self.maxC = np.abs(newc[0])
        sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1.
        self.s = np.array(
            [sign(item) for item in newc],
            dtype=float
        )

    def compute_basic(self):
        """计算一些基本的东西
        index_A: A_A
        index_w: w_A
        index_u: u_A
        """
        index_X = self.data[:, self.index] * self.s
        index_G = index_X.T @ index_X
        index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
        self.index_A = 1 / np.sqrt(np.sum(index_G_inv))
        self.index_w = np.sum(index_G_inv, 1) * self.index_A
        self.index_u = index_X @ self.index_w

    def update_c(self):
        """更新c"""
        self.compute_c()

    def update_index(self, j):
        """更新指示集合
        index:  指示集合A
        maxC: 最大的c
        s: 符号
        """
        if j in self.index:
            self.index.remove(j)
        else:
            self.index.append(j)
            self.index.sort()
        newc = self.c[self.index]
        self.maxC = np.abs(newc[0])
        sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1.
        self.s = np.array(
            [sign(item) for item in newc],
            dtype=float
        )

    def update_basic(self):
        """更新基本的东西"""
        self.compute_basic()

    def current_gamma(self):
        """找第一次改变符号的位置"""
        const = 999999999.
        d = self.s * self.index_w
        index_beta = self.beta[self.index]
        z = []
        for i in range(len(d)):
            if -index_beta[i] * d[i] <= 0:
                z.append(const)
            else:
                z.append(-index_beta[i] / d[i])
        z = np.array(z, dtype=float)
        label = np.argmin(z)
        themin = z[label]

        return themin, self.index[label]


    def step(self):
        """操作一步"""
        const = 9999999999.
        def divide(x, y):
            z = []
            for i in range(len(x)):
                if x[i] * y[i] <= 0:
                    z.append(const)
                else:
                    z.append(x[i] / y[i])
            return z

        complement_index = list(set(range(self.m))
                                - set(self.index))
        a = self.data.T @ self.index_u
        complement_a = a[complement_index]
        complement_c = self.c[complement_index]
        index_reduce_a = self.index_A - complement_a
        index_plus_a = self.index_A + complement_a
        maxC_reduce_c = self.maxC - complement_c
        maxc_plus_c = self.maxC + complement_c
        min1 = divide(maxC_reduce_c, index_reduce_a)
        min2 = divide(maxc_plus_c, index_plus_a)
        totalmin = np.array(
            [min1, min2]
        )
        allmin = np.min(totalmin, 0)
        min_beta, label2 = self.current_gamma()
        print(len(self.progress_beta))
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))
        try:
            label = np.argmin(allmin)
        except ValueError:
            index_X = self.data[:, self.index] * self.s
            index_G = index_X.T @ index_X
            index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
            deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu)
            self.mu = self.mu + index_X @ deltau
            self.beta = self.beta + deltau * self.s
            return 0
        if min_beta < allmin[label]:
            gamma = min_beta
            label = label2
        else:
            gamma = 0. if allmin[label] == const else allmin[label]
        self.mu = self.mu + gamma * self.index_u
        self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + (self.s * self.index_w) * gamma
        if self.life == 0:
            return 1
        j = complement_index[label]
        self.update_c()
        self.update_index(j)
        self.update_basic()
        return 1

	def process(self, r=1):
        self.life = r
        for i in range(r):
            self.life -= 1
            print("step:", i)
            self.step()
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))
        index_X = self.data[:, self.index] * self.s
        index_G = index_X.T @ index_X
        index_G_inv = np.linalg.inv(index_G)
        deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu)
        self.mu = self.mu + index_X @ deltau
        self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + deltau * self.s
        self.progress_beta.append(np.array(self.beta))
        self.progress_mu.append(np.array(self.mu))

    def plot(self):
        """plot beta, error"""
        fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2,
                               figsize=(10, 5), constrained_layout=True)
        beta = np.array(self.progress_beta)
        mu = np.array(self.progress_mu)
        r, m = beta.shape
        error = np.sum((mu - self.response) ** 2, 1)
        x = np.arange(1, r+1)
        for i in range(m):
            y =  beta[:, i]
            ax[0].plot(x, y, label="feature{0}".format(i))
            ax[0].text(x[-1]+0.05, y[-1], str(i))
        ax[0].set_title(r"$\beta$ with iterations")
        ax[0].set_xlabel(r"iterations")
        ax[0].set_ylabel(r"$\beta$")
        ax[0].legend(loc="best", ncol=2)
        ax[1].plot(x, error)
        ax[1].set_title("square error with iterations")
        ax[1].set_xlabel("iterations")
        ax[1].set_ylabel("square error")
        plt.show()