DZY Loves Math题解

最新推荐文章于 2022-02-12 10:50:10 发布

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本文探讨了一道数学竞赛题目，通过巧妙地利用质因数分解和卷积技巧，将原始问题转化为易于解决的形式。文章详细介绍了如何通过提出最大质因子幂次，使用整除分块和卷积运算来优化求解过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

first game哟~

题意：

$∑i=1n∑j=1mf((i,j))\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf((i,j))$
其中 f(x)表示x所含质因子的最大幂指数；

题解：

推导一下：

$∑i=1n∑j=1mf((i,j))\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf((i,j))$
提出gcd
$∑df(d)∑i=1n/d∑j=1m/d[(i,j)==1]\sum_df(d)\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[(i,j)==1]$
按照套路暴力展开
$∑df(d)∑i=1n/d∑j=1m/d∑t∣(i,j)μ(t)\sum_df(d)\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}\sum_{t|(i,j)}\mu(t)$
把 $μ\mu$ 提前
$∑df(d)∑t=1n/dμ(t)[ndt][mdt]\sum_df(d)\sum_{t=1}^{n/d}\mu(t) [\dfrac{n}{dt}][\dfrac{m}{dt}]$

设T=dt
$∑T=1n[nT][mT]∑d∣Tf(d)∗μ(Td)\sum_{T=1}^n [\dfrac{n}{T}][\dfrac{m}{T}]\sum_{d|T}f(d)*\mu(\dfrac{T}{d})$
前面那个可以整除分块，后面的卷积只有当T的每个质因子的质数相时才为 $1)^k$ (k为质因子个数，因此我们筛出不为0 $μ\mu$ ,更新它们的幂就行了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define N 10000007
#include<queue>
#include<string>
#include<set>
#define ll long long
#define rint register int
#include<deque>
using namespace std;
ll read()
{
    ll f=1,x=0;
    char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return f*x;
}
int A,B,mu[N],pre[N],cnt,s[N],T;
bool vis[N];
ll ans;
void init()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i)
    {
        if(!vis[i]) pre[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&pre[j]*i<N;++j)
        {
            vis[pre[j]*i]=1;
            if(i%pre[j]) mu[i*pre[j]]=-mu[i];
            else break;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    for(int i=2;i<N;++i) if(mu[i])
    {
        for(ll j=i;j<N;j*=i) s[j]-=mu[i];
    }
    for(int i=2;i<N;++i) s[i]+=s[i-1];
    T=read();
    while(T--)
    {
        ans=0;
        A=read(),B=read();
        if(A>B) swap(A,B);
        int r,j1,j2;
        for(int i=1;i<=A;i=r+1)
        {
            j1=A/i,j2=B/i;
            r=min(A/j1,B/j2);
            ans+=1ll*(s[r]-s[i-1])*j1*j2;
        }
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}