HDU 4549 M斐波那契数列 (费马小定理+矩阵快速幂)

最新推荐文章于 2020-07-01 17:06:22 发布

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#费马小定理 #矩阵快速幂

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本文介绍了解决HDU 4549题目的方法，利用矩阵快速幂求解斐波那契数列，并结合费马小定理进行取模运算，通过具体的AC代码实现展示了这一过程。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4549

分析：

写出F[n]的几项之后发现a和b的指数和斐波那契数列有关

具体的关系是 F[n]=a^fib[n-1] * b^fib[n]

矩阵快速幂求fib 快速幂求a和b的n次幂

题目要求对F[n]%mod 这里用到费马小定理

即：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 (来自百度百科)

也就是说 a^p %mod = a^p%(mod-1)%mod

证明：

设 p=k*(mod-1)+r

则a^p%mod=(a^k*(mod-1)* a^r)%mod=a^r%mod=a^p%(mod-1)%mod

AC代码：

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stack>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <climits>
typedef long long LL;
const LL mod=1000000007;
using namespace std;
int n=2;
struct Matrix{
    LL a[2][2];
    void init(){
        memset(a,0,sizeof(a));
        for (int i=0;i<n;i++)
            a[i][i]=1;
    }
};
Matrix multiply(Matrix x,Matrix y){
    Matrix temp;
    memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
    for (int i=0;i<n;i++){
        for (int j=0;j<n;j++){
            for (int k=0;k<n;k++){
                temp.a[i][j]=(temp.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%(mod-1);
            }
        }
    }
    return temp;
}
Matrix qpow(Matrix M,LL k){
    Matrix temp;
    temp.init();
    while (k){
        if (k%2)
            temp=multiply(temp,M);
        k/=2;
        M=multiply(M,M);
    }
    return temp;
}
LL Power(LL a,LL b){
    LL temp=1;
    while (b){
        if(b%2)
            temp=(temp*a)%mod;
        b/=2;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return temp%mod;
}
int main (){
    LL a,b,N;
    //freopen("data","r",stdin);
    while (scanf ("%lld%lld%lld",&a,&b,&N)!=EOF){
        Matrix M;
        memset(M.a,0,sizeof(M.a));
        M.a[0][0]=M.a[0][1]=M.a[1][0]=1;
        if (N==0){
            printf ("%lld\n",a);
            continue;
        }
        if (N==1){
            printf ("%lld\n",b);
            continue;
        }
        LL p1,p2;
        Matrix temp;
        temp=qpow(M,N-1);
        p1=temp.a[0][0];
        p2=temp.a[1][0];
        //printf ("%lld   %lld\n",p1,p2);
        printf("%lld\n",Power(a,p2)*Power(b,p1)%mod);
    }
    return 0;
}