【map离散&容斥】Ghosts @Codeforces Round #478 (Div. 2) D_codeforces round #478 d. ghosts-优快云博客

本文介绍了一种算法，用于计算在一条直线上多个点基于其初始位置和速度发生碰撞的总次数。通过数学推导简化了问题，并利用哈希映射来高效统计碰撞次数。

传送门
题意：给你一条直线的斜率a和截距b，和某一时刻n个在直线上的点的横坐标，以及沿坐标轴方向的速度。问你这些点在（-∞，+∞）的时间内的碰撞次数。

solution
设两个点在t时刻相碰，有：

x 1 + v x 1 t = x 2 + v x 2 t

$x_1+v_{x_1}t = x_2+v_{x_2}t$

y 1 + v y 1 t = y 2 + v y 2 t

$y_1+v_{y_1}t = y_2+v_{y_2}t$
消去t，可以得到

x 1 - x 2 v x 2 - v x 1 = y 1 - y 2 v y 2 - v y 1

$\frac {x_1-x_2}{v_{x_2}-v_{x_1}} = \frac {y_1-y_2}{v_{y_2}-v_{y_1}}$
而在直线上有

y 1 - y 2 = a (x 1 - x 2)

$y_1-y_2 = a(x_1-x_2)$
进一步整理可以得到

v y 2 - a v x 2 = v y 1 - a v x 1

$v_{y_2}-av_{x_2} = v_{y_1}-av_{x_1}$
也就是说当两个点的

vy−avx v y − a v x $v_y-av_x$ 值相等时，两个点就会相碰
开一个map记录每一个

vy−avx v y − a v x $v_y-av_x$ 值对应的点的数量
同时也要注意，如果两个点具有相同的

vx v x $v_x$

vy v y $v_y$ ，它们的

vy−avx v y − a v x $v_y-av_x$ 也是相同的，但此时两个点相对静止不会相碰
所以每次统计答案时，除了加上与当前点

vy−avx v y − a v x $v_y-av_x$ 相同的点的数量，还要减去与当前点相对静止的点的数量（可以另开一个map记录一下）

#define IN_LB() freopen("C:\\Users\\acm2018\\Desktop\\in.txt","r",stdin)
#define OUT_LB() freopen("C:\\Users\\acm2018\\Desktop\\out.txt","w",stdout)
#define IN_PC() freopen("C:\\Users\\hz\\Desktop\\in.txt","r",stdin)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
map<ll,int> mp;
map<pll,int> same;

int main() {
//    IN_LB();
    ll n,a,b,ans=0;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&a,&b);
    for(int i=0; i<n; i++) {
        ll x,vx,vy;
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&vx,&vy);
        ll res = vy-a*vx;
        pll node = {vx,vy};
        ans+=mp[res] - same[node];
        mp[res]++;
        same[node]++;
    }
    printf("%lld\n",ans*2);
    return 0;
}