每日一题：点（数学）

点（数学）

递推关系：

根据题意，列出以下方程
$$S=\sum _{i1}^n(x_i-\sum _{j=1}^n{x}_j{)}^2+\sum _{i,j=1}^n(y_i-\sum _{j=1}^n{y}_j{)}^2\text{\hspace{1em}(1)}$$
单独考虑$x$
$$S=\sum _{i,j=1}^n(x_i^2+x_j^2-(x_i{x}_j+x_j{x}_i))\text{\hspace{1em}(2)}$$
相当于与每一个其它点做一次差，所以有$n-1$个平方项，后面的部分每一个$i$和其余$j$都要有两次交叉相乘项
$$S=\sum _i^n(n-1)x_i^2-((\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^2-\sum _{i=1}^n{x}_i^2)\text{\hspace{1em}(3)}$$
预先处理平方和和和的平方，可以在$O(n)$的时间之内算出来结果

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 100010;
int n;
int x[N], y[N];

LL get(int x[])
{
    LL s1 = 0, s2 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        s1 += x[i] * x[i];
        s2 += x[i];
    }
    
    return (n - 1) * s1 - s2 * s2 + s1;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        cin >> x[i] >> y[i];
    }
    
    cout << get(x) + get(y) << endl;
    return 0;
}