第四十一天：最小生成树算法

在此之前我们学完了三种最短路径的求解方法和路径还原。
图论还有一种问题就是求解最小生成树的问题。

定义：

什么是最小生成树？
首先我们要知道生成树是什么。给定一个无向图，如果它的某个子图中任意两点都互相连通并且是一棵树，那么这棵树就叫做生成树。如果边长有权值，那么使得边权和最小的树叫做最小生成树。
这个算法最常见的算法有：
1.Prim算法：不断加点的方式；2.Kruskal算法：不断加边的方式，很显然，生成树是否存在和图是否连通是等价的，我们假定图是连通的。

Prim算法

不断添加点的一种方式，贪心的选取从已知集合中点到未使用过的最小的点，把它加入到最开始的一个顶点v的树中，就叫做Prim算法。
这里我们定义一个最小消耗，表示的就是已经保存的集合到新加入的点的最小消耗，在最短路径的算法中，我们用d来表示的是从起点出发到每个点的最短距离，这里我们用mincost来表示。

int cost[MAXN][MAXN];
int mincost[MAXN];
bool used[MAXN];
int V;

int prim()
{
    for (int i = 0; i < V; i++)
    {
        mincost[i]=INF;
        used[i]=false;
    }
    mincost[0]=0;
    int res=0;//最小生成树的总长度

    while(true)
    {
        int v=-1;//通过v去找待加入新的点
        for (int u = 0; u < V; u++)
        {
            /* code */
            if (!used[u]&&(v=-1||mincost[u]<mincost[v]))
            {
                /* code */
                v=u;
            }
        }
        if(v==-1)//说明所有点都已经遍历过了
            break;
        used[v]=true;
        res+=mincost[v];

        //这是需要更新到新加入点的最小距离

        for (int u = 0; u < V; u++)
        {
            /* code */
            mincost[u]=min(mincost[u],cost[u][v]);
        }    
    }
    return res;
}

Kruskal算法

这个算法按照边的权值从小到大查看一遍，之前通电这道题其实也已经用过了，每一次只要加入这条边不产生环（或者重边）那么就加入到已知的集合中来。

如何判断会不会产生圈呢？这里就用到并查集的知识了，如果在同一个连通分量里面，那么就一定会产生圈

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1e6;
int parent[MAXN];
struct edge{int begin,end,cost;};

bool cmp(edge e1,edge e2)
{
    return e1.cost<e2.cost;
}

void initial(int V)
{
    for (int i = 0; i < V; i++)
    {
        /* code */
        parent[i]=i;
    }
}
int get_root(int a)
{
    if (parent[a] != a)
    {
        parent[a] = get_root(parent[a]);
    }
    
    return parent[a];
}
void Merge(int a, int b)
{
    parent[get_root(a)] = get_root(b);
}
bool Query(int a, int b)
{
    return get_root(a) == get_root(b);
}
edge es[MAXN];
int V,E;

int kruskal()
{
    sort(es,es+E,cmp);
    initial(V);
    int res=0;
    for (int i = 0; i < E; i++)
    {
        /* code */
        edge e=es[i];
        if(get_root(e.begin) != get_root(e.end))
        {
            Merge(e.begin,e.end);
            res+=e.cost;
        }
    }
    return res;
}

今天就说到这里吧，晚上看一些相关的题目巩固一下。