小波变换与分形的结合介绍_小波变换模极大值方法估计分形维数-优快云博客

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分形（Fractal）

分形是指在不同尺度上都具有自相似特性的几何结构，通常由简单的递归规则生成。数学上，分形的一个重要特征是非整数维数，这与传统欧几里得几何（点是 0 维，线是 1 维，面是 2 维，体是 3 维）不同。

分形的关键特性：自相似性、非整数维数、递归、无穷细节

分形维数

相似维数（适用于严格自相似的分形）

$D = \frac{\log N}{\log r}$

其中，N 是将图形缩小 r 倍后所需的子结构数量。

一些举例分形和分形维数的举例：

科赫雪花（Koch Snowflake） $D = \frac{\log 4}{\log 3} \approx 1.26$

该曲线具有无穷长的边界但有限的面积。

谢尔宾斯基三角形（Sierpiński Triangle） $D = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.58$

曼德勃罗集（Mandelbrot Set）：由复数迭代方程 $z_{n+1} = z_n^2 + c$ 生成。

迭代函数系统（IFS）

1988年，Barnsley首次提出迭代函数系统（Iterated Function System, IFS）的概念，并认识到IFS可以很好地应用于图像压缩领域。他的学生Jacquin在随后的工作中进一步完善了基于IFS的图像压缩思想。

对图像压缩而言，分形主要是利用自相似的特点，通过迭代函数系统IFS来实现压缩。所谓自相似性就是指无论几何尺寸如何变化，物体的任何一小部分的形状都与较大部分的形状极其相似。与DCT编码不同，分形编码利用自相似性，不是临近样本的相关性，而是大范围的相似性，即图像块的相似性。

分形压缩理论基础是迭代函数系统定理和拼贴（Collage）定理。IFS是由一完备空间 $(X, d)$ 和一组有限的压缩变换 $w_i: X \rightarrow X$ （ $i = 1, 2, \ldots, N$ ）组成，并记作 $\{X: w_i, i = 1, 2, \ldots, N\}$ 。每个迭代函数系统都有一个吸引子，该吸引子可表示成一幅图像。

拼贴定理指出：设$(X, d)$是完备度量空间， $L \in H(X)$ ，数 $\epsilon > 0$ ，如能选到一个IFS $\{X: w_i, i = 1, 2, \ldots, N\}$ 的压缩率为 $0 < s < 1$ ，且满足

$h\left(L, \bigcup_{i=1}^N w_i(L)\right) \leq \epsilon,$
则 $h(L, A) \leq \frac{\epsilon}{1 - s},$

式中，A为该IFS的吸引子；h为Hausdorff度量；H(X)为完备度量空间(X, d)的一个子集。

一般分形图像压缩过程如下：

将整个图像分割成n个互不搭接的排列块和m个可搭接块
从Domain块中，对每个Range块寻找适当的Domain块，使得Domain块通过某种收缩变换W后近似于Range块，即W(D) = R。
确定每个Range块的最佳匹配Domain块，记录Domain块和Range块的位置，依次完成整个图像的编码。
从一幅图像开始进行解码，对选定的每个Domain块都用相应的W进行一次变换，称为一次迭代。趋于迭代函数系统的吸引子时，即得到解码图像。

基本分形压缩算法主要是对图像分割后Range块和Domain块进行搜索匹配的过程。这种算法的特点是压缩率高，运算速度与提高图像分辨率的关系不大，但由此带来的问题是压缩时的计算量大，编码压缩时间很长。

分形与小波变换的结合

1. 基于分形和小波的图像压缩

公式与原理

小波变换：
- 小波变换将图像分解为多个尺度的子带（低频和高频）。
- 公式：
  W(a,b)=∫−∞∞f(t)⋅ψa,b(t) dtW(a,b)=∫−∞∞f(t)⋅ψa,b(t)dt
  其中，ψa,b(t)ψa,b(t) 是小波基函数，aa 是尺度参数，bb 是平移参数。
分形压缩：
- 分形压缩利用图像的自相似性，通过迭代函数系统（IFS）实现压缩。
- 公式：
  xn+1=T(xn)xn+1=T(xn)
  其中，TT 是仿射变换，xnxn 是图像的像素值。

结合方法

对图像进行小波变换，得到多个子带（低频和高频）。
对每个子带应用分形压缩方法，利用子带内的自相似性进一步压缩。

将压缩后的子带进行小波逆变换，重构图像。

import numpy as np
import pywt
from skimage import data, img_as_float
from skimage.transform import resize

# 读取图像
image = img_as_float(data.camera())
image = resize(image, (128, 128))  # 缩小图像以加快计算

# 小波变换
coeffs = pywt.wavedec2(image, 'haar', level=2)  # 使用Haar小波，分解2层

# 分形压缩（简化示例：对每个子带进行阈值处理）
def fractal_compress(coeff, threshold=0.1):
    return np.where(np.abs(coeff) < threshold, 0, coeff)

compressed_coeffs = [fractal_compress(c) for c in coeffs]

# 小波逆变换
reconstructed_image = pywt.waverec2(compressed_coeffs, 'haar')

# 显示结果
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.title("Original Image")
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.title("Compressed Image")
plt.imshow(reconstructed_image, cmap='gray')
plt.show()

2. 分形与小波的多尺度分析

公式与原理

小波变换：
- 同上，将信号分解为多个尺度的分量。
分形维数计算：
- 使用盒计数法计算分形维数：
  D=lim⁡ϵ→0log⁡N(ϵ)log⁡(1/ϵ)D=ϵ→0limlog(1/ϵ)logN(ϵ)
  其中，N(ϵ)N(ϵ) 是用大小为 ϵϵ 的盒子覆盖分形所需的盒子数。
对信号进行小波变换，得到多个尺度的分量。

对每个尺度的小波系数计算分形维数，分析其自相似性。

import numpy as np
import pywt
from scipy.stats import linregress

# 生成分形信号（例如：Weierstrass函数）
def weierstrass(x, n=100):
    return np.sum([np.sin(2**k * x) / 2**k for k in range(n)], axis=0)

x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)
signal = weierstrass(x)

# 小波变换
coeffs = pywt.wavedec(signal, 'db1', level=4)  # 使用Daubechies小波，分解4层

# 计算分形维数（盒计数法）
def fractal_dimension(z, threshold=0.1):
    z = np.where(np.abs(z) < threshold, 0, 1)
    n = []
    for size in [2**i for i in range(1, 8)]:
        n.append(np.sum(z[:size * (len(z)//size)].reshape(-1, size).any(axis=1)))
    n = np.array(n)
    sizes = np.array([2**i for i in range(1, 8)])
    slope, _, _, _, _ = linregress(np.log(1/sizes), np.log(n))
    return slope

# 计算每个尺度的分形维数
for i, coeff in enumerate(coeffs):
    print(f"Level {i} Fractal Dimension: {fractal_dimension(coeff)}")