最大公约数与最小公倍数算法-优快云博客

求解最大公约数和最小公倍数。

有两大种方法：求解最大公约数有欧几里德算法和stein算法。其中欧几里德算法又分为一般的和扩展的欧几里德算法。

而求解两数的最小公倍数则利用了它们的最大公约数，有公式lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。lcm是最小公倍数的英文缩写，gcd同样。

所以求解最小公倍数的代码只在一般欧几里德算法分析中介绍下，读者可以举一反三。

一、欧几里德算法

1、一般欧几里德算法（只求最大公约数）

求最大公约数一个经典的方法就是辗转相除法了。以下将要介绍的代码也是利用其求解的。

其中，求解最大公约数用了递归和非递归两种方法，代码中有注释。

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int gcd(int a,int b)  //a,b最大公约数，递归 
{
	if(b==0)
		return a;
	else
	    return gcd(b,a%b);
}

int GCD(int a,int b)   //a,b最大公约数，非递归 
{
    int tem;
    
    if(a<b)
    {
       tem=a;
       a=b;
       b=tem;
    }
    
    int rem=1;
    while(rem!=0)
    {
        rem=a%b;
        a=b;
        b=rem;
    }
    
    return a;
}

 
int lcm(int a,int b)  //最小公倍数 
{
    return a*b/gcd(a,b);
}

int main()
{
    int a,b,lc,gc1,gc2;
    
    cout<<"输入:"; 
    while(cin>>a>>b)
    {
       gc1=gcd(a,b);
       gc2=GCD(a,b);
       lc=lcm(a,b);
       
       cout<<"最大公约数:"<<gc1<<endl;
       cout<<"最大公约数:"<<gc2<<endl;
       cout<<"最小公倍数:"<<lc<<endl;
       cout<<endl;
       cout<<"输入:"; 
    }
    
    return 0;
}

测试结果：

再来啰嗦两句。求解最大公约数的非递归方法应该说很好理解，完全的辗转相除法。而递归方法则由于没有判断a,b的大小关系，很容易让人迷惑。

比如，输入28 1274时，会有人觉得不能求解。其实，输入28 1274和输入1274 28是基本一样的。解释如下：输入28 1274，调用gcd(28,1274)，

b=1274，b!=0，所以执行return gcd(b,a%b)也即return gcd(1274,28)。因为28%1274=28！到此，已经和直接输入1274 28一样了。

2、扩展欧几里德算法（不仅仅可求出最大公约数，还可解出方程ax+by=gcd(a,b)中的x和y）

其详细描述及证明，请参考：点击打开链接

算法代码：

int extendGcd(int a,int b,int &x,int &y)   //扩展gcd，可以求出gcd(a,b)以及ax+by=gcd(a,b)中x,y的值
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;

		return a;
	}
	else
	{
		int a1=extendGcd(b,a%b,x,y);
		
		int tmp=x;
		x=y;
		y=tmp-a/b*y;

		return a1;
	}
}

二、Stein算法

Stein算法与欧几里德算法的不同是：Stein算法只有整数的移位与加减法，不需要进行除法和取模运算。

算法描述：

（1）判断a或b是否为0，若a=0，则b就是最小公倍数；若b=0，则a就是最小公倍数。算法结束。

（2）设a1=a，b1=b，c1=1。

（3）判断an、bn是否为偶数

①若都是偶数，则令a(n+1)=an/2，b(n+1)=bn/2，c(n+1)=2*cn。

②若an是偶数，则令a(n+1)=an/2，b(n+1)=bn，c(n+1)=cn。

③若bn是偶数，则令a(n+1)=an，b(n+1)=bn/2，c(n+1)=cn。

④若an、bn都是奇数，则令a(n+1)=|an-bn|，b(n+1)=min(an,bn)，c(n+1)=cn。

（4）n累加1，跳转到（3）进行下一轮计算。

算法代码如下：

方法一：

int gcd(int a,int b)
{
	int min=(a>b)?b:a;
	int max=(a>b)?a:b;

	if(min==0)
		return max;
	if(max%2==0 && min%2==0)
		return 2*gcd(max/2,min/2);
	if(max%2==0)
		return gcd(max/2,min);
	if(min%2==0)
		return gcd(max,min/2);
	return gcd((max+min)/2,(max-min)/2);  //都是奇数，貌似和算法给出的不太一样，我测试了几组数据都是对的。。。
}

方法二：

int gcd(int a,int b)
{
	int min=(a>b)?b:a;
	int max=(a>b)?a:b;

	if(!min)
		return max;
	if(!max)
		return min;
	if(!(min&1) && !(max&1))  //都是偶数
		return gcd(min>>1,max>>1)<<1;
	if(!(min&1))      //小数为偶
		return gcd(min>>1,max);
	if(!(max&1))      //大数为偶
		return gcd(min,max>>1);

	//return gcd((max-min)>>1,min);  //都是奇数，不知道为啥这个也行？？？
    return gcd(max-min,min);  //都是奇数
}