2039. 网络空闲的时刻-优快云博客

网络空闲时刻 — LeetCode 2039 题解与详解

题目描述

给定一个包含 n 个服务器的计算机网络，服务器编号为 0 到 n-1。
同时给你一个二维整数数组 edges，其中 edges[i] = [u_i, v_i] 表示服务器 u_i 和服务器 v_i 之间有一条双向的信息线路，信息在线路上传输速度是固定的：1秒可以传输任意多条信息。
还有一个长度为 n 的整数数组 patience，表示每个服务器的重发周期。

题目保证所有服务器都是连通的，也就是说，从任意服务器出发，都可以通过信息线路直达或间接到达任何其他服务器。

服务器编号为 0 的服务器是主服务器，其余都是数据服务器。
在0秒时，所有数据服务器会向主服务器发送消息。
主服务器接收到信息后，会立即处理并沿消息原路径反方向返回回复。
若数据服务器在收到回复之前，间隔时间达到了自己的重发周期 patience[i]，会再次发送信息，持续重发，直到收到回复。
当所有信息都传输完毕，且没有新的消息传输时，网络进入空闲状态。

要求返回网络变为空闲状态的最早秒数。

题目要点和难点

图的最短路径问题：所有消息都沿最短路径发送，因为信息传输时间是1秒/条边，无权图最短路径可用 BFS 求出。
重发机制：每个数据服务器会周期性重发信息，直到收到回复，重发的时间点取决于 patience[i]。
计算最终空闲时间：需要计算每个服务器最后一次重发信息对应的回复到达时间，取最大值加1秒即为空闲时间。

解题思路

1. 计算最短路径

从主服务器（0号）出发，利用 BFS 计算每个服务器到主服务器的最短距离 dist[i]。
该距离即为消息单程传输时间。

2. 计算每个服务器最后收到回复的时间

消息往返时间为 2 * dist[i] 秒。
如果往返时间小于等于重发周期 patience[i]，说明服务器只发送一次消息，回复时间即为 2 * dist[i]。
否则服务器会重发多次，重发的时间点为 0, patience[i], 2 * patience[i], …，直到收到回复。
最后一次重发消息的发送时间 last_send 可以通过公式计算：

last_send = ((2 * dist[i] - 1) // patience[i]) * patience[i]

这里的 (2 * dist[i] - 1) 是为了向下取整最后一次重发时间。

最后回复时间为 last_send + 2 * dist[i]。

3. 计算全网空闲时间

对所有数据服务器计算最后回复时间的最大值，记为 max_reply，网络空闲时间即为：

max_reply + 1

代码实现

from collections import deque, defaultdict
from typing import List

class Solution:
    def networkBecomesIdle(self, edges: List[List[int]], patience: List[int]) -> int:
        n = len(patience)
        graph = defaultdict(list)
        
        # 构建无向图邻接表
        for u, v in edges:
            graph[u].append(v)
            graph[v].append(u)
        
        dist = [-1] * n
        dist[0] = 0
        queue = deque([0])
        
        # BFS求各节点距离主服务器0的最短路径距离
        while queue:
            node = queue.popleft()
            for nei in graph[node]:
                if dist[nei] == -1:
                    dist[nei] = dist[node] + 1
                    queue.append(nei)
        
        ans = 0
        # 计算每个数据服务器最后回复时间，取最大值
        for i in range(1, n):
            time = 2 * dist[i]  # 往返时间
            if time <= patience[i]:
                last_reply = time
            else:
                last_send = ((time - 1) // patience[i]) * patience[i]
                last_reply = last_send + time
            ans = max(ans, last_reply)
        
        return ans + 1

时间复杂度与空间复杂度分析

时间复杂度
BFS遍历整个图需要 O(n + m)，其中 n 是服务器数量，m 是线路数量。
计算回复时间也是遍历每个服务器，O(n)。
总体时间复杂度：O(n + m)。
空间复杂度
存储邻接表需要 O(n + m)。
存储距离数组需要 O(n)。
总体空间复杂度：O(n + m)。

示例解析

示例 1

edges = [[0,1],[1,2]], patience = [0,2,1]

服务器1到主服务器0的距离为1，往返时间为2秒。
patience[1] = 2，2 <= 2，服务器1只发1次信息，回复时间为2秒。
服务器2到主服务器0的距离为2，往返时间为4秒。
patience[2] = 1，4 > 1，服务器2会多次重发。
计算最后一次重发发送时间：

last_send = ((4 - 1) // 1) * 1 = 3

最后回复时间为 3 + 4 = 7 秒。

最大回复时间是7秒，空闲时间为 7 + 1 = 8 秒。

示例 2

edges = [[0,1],[0,2],[1,2]], patience = [0,10,10]

服务器1和2的距离都是1，往返时间为2秒。
patience[1] = patience[2] = 10，都大于往返时间2秒，故都只发送一次消息。
回复时间都是2秒，最大回复时间为2秒，空闲时间为 2 + 1 = 3 秒。

总结

这道题通过 BFS 计算无权图的最短路径，再结合周期性重发策略，巧妙地用数学公式计算出每个服务器最后的回复时间，最后取最大值确定网络空闲时间。

题目考察了图的遍历算法、路径计算和周期性事件模拟的结合，非常经典且实用。