2012. 数组美丽值求和

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#算法 #数据结构 #leetcode #开发语言 #python

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【算法题解析】数组中的美丽值统计（美丽值之和）

✨题目描述

给定一个下标从 0 开始的整数数组 nums。对每个下标 i（满足 1 <= i <= nums.length - 2），我们定义一个整数的 美丽值（beauty），具体规则如下：

美丽值为 2：如果存在 j < i < k，满足 nums[j] < nums[i] < nums[k]；
美丽值为 1：如果不满足上面的条件，但满足 nums[i-1] < nums[i] < nums[i+1]；
美丽值为 0：如果以上条件都不满足。

请你返回所有 1 <= i <= nums.length - 2 范围内的 nums[i] 的 美丽值总和。

✅ 示例 1：

输入：nums = [1, 2, 3]
输出：2
解释：
对于 i = 1：
  nums[0] < nums[1] < nums[2] => 1 < 2 < 3，满足美丽值为 2。
总和为 2。

✅ 示例 2：

输入：nums = [2, 4, 6, 4]
输出：1
解释：
对于 i = 1：nums[0] = 2 < 4 < 6 = nums[2]，美丽值 = 2；
对于 i = 2：nums[1] = 4 < 6 > 4 = nums[3]，不满足美丽值2，也不满足美丽值1；
因此总和为 2 + 0 = 2。
但实际上 leftMax[1] = 4，nums[2] = 6，不满足 leftMax < nums[2]，所以美丽值为 1（满足 nums[1] < nums[2] > nums[3]），总和为 1。

✅ 示例 3：

输入：nums = [3, 2, 1]
输出：0
解释：
对于 i = 1：nums[0] = 3 > 2 > 1 = nums[2]，不满足任何条件。

🧠 解题思路分析

核心目标

我们需要针对每一个中间元素 nums[i] (1 <= i <= n-2)，判断它是否满足：

有一个左边的元素小于它，且右边有一个元素大于它（美丽值 = 2）
或者左右相邻元素满足 nums[i-1] < nums[i] < nums[i+1]（美丽值 = 1）
否则（美丽值 = 0）

为了高效完成这个判断，我们可以预处理：

每个位置左边的最大值 leftMax[i]
每个位置右边的最小值 rightMin[i]

为什么这样处理？

我们并不需要枚举所有的 j < i 和 k > i，只需要知道：

nums[i] 是否大于它左边的所有值（即大于 leftMax[i-1]）
nums[i] 是否小于它右边的所有值（即小于 rightMin[i+1]）

如果这两个条件都满足，那么一定存在某个 j 和 k 使得 nums[j] < nums[i] < nums[k] 成立，从而美丽值为 2。

🛠 解题方法（Python 实现）

from typing import List

class Solution:
    def sumOfBeauties(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        leftMax = [0] * n
        rightMin = [0] * n

        # 构造左侧最大值数组
        leftMax[0] = nums[0]
        for i in range(1, n):
            leftMax[i] = max(leftMax[i - 1], nums[i])

        # 构造右侧最小值数组
        rightMin[-1] = nums[-1]
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            rightMin[i] = min(rightMin[i + 1], nums[i])

        total_beauty = 0
        for i in range(1, n - 1):
            if leftMax[i - 1] < nums[i] < rightMin[i + 1]:
                total_beauty += 2
            elif nums[i - 1] < nums[i] < nums[i + 1]:
                total_beauty += 1
            # 否则为0，省略不加

        return total_beauty

⏱ 时间复杂度与空间复杂度

操作	复杂度
时间复杂度	`O(n)` 三次线性扫描：一次构造 `leftMax` ，一次构造 `rightMin` ，一次遍历判断
空间复杂度	`O(n)` 需要两个额外数组存储最大/最小值

该解法已经是线性时间和线性空间的最优解，适用于数组长度在 10^5 级别的情况。

🔍 方法分析与对比

方法	优点	缺点
枚举 j 和 k（暴力法）	容易理解	时间复杂度 O(n²)，不可接受
前后缀数组法（本解法）	时间复杂度 O(n)，适配大数据	需要额外 O(n) 空间