python-leetcode-比特位计数

338. 比特位计数 - 力扣（LeetCode）

可以使用动态规划（DP）或位运算来高效求解这个问题。以下是几种常见的解法：

方法 1：动态规划 + 最高有效位

def countBits(n):
    ans = [0] * (n + 1)
    highBit = 0  # 记录当前的最高有效位
    for i in range(1, n + 1):
        if (i & (i - 1)) == 0:  # 当 i 是 2 的整数次幂时，更新最高有效位
            highBit = i
        ans[i] = ans[i - highBit] + 1
    return ans

# 示例
print(countBits(5))  # 输出: [0, 1, 1, 2, 1, 2]

思路：

• 最高有效位是指二进制表示中最高的 1 位置，例如 1(2), 10(2), 100(2), 1000(2), …
• 如果 i 是 2^m，它的二进制只有 1 个 1，此时更新 highBit
• 其他数 i 的 1 的个数等于 i - highBit 的 1 个数加 1

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方法 2：动态规划 + 最低设置位

def countBits(n):
    ans = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1  # 去掉最低位的1
    return ans

# 示例
print(countBits(5))  # 输出: [0, 1, 1, 2, 1, 2]

思路：

• i & (i - 1) 会去掉 i 的最低位 1
• ans[i] 直接继承 ans[i & (i - 1)]，再加 1

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方法 3：直接计数

def countBits(n):
    return [bin(i).count('1') for i in range(n + 1)]

# 示例
print(countBits(5))  # 输出: [0, 1, 1, 2, 1, 2]

思路：

• 直接转换成二进制字符串并统计 1 的数量
• 适用于 n 较小的情况，时间复杂度 O(n log n)

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方法 4：位运算 + 记忆化

def countBits(n):
    ans = [0] * (n + 1)
    for i in range(n + 1):
        ans[i] = ans[i >> 1] + (i & 1)
    return ans

# 示例
print(countBits(5))  # 输出: [0, 1, 1, 2, 1, 2]

思路：

• i >> 1 表示 i 右移一位，相当于 i // 2
• i & 1 取得 i 的最低位
• ans[i] = ans[i >> 1] + (i & 1)

这几种方法都能高效解决问题，推荐使用 动态规划 + 最低设置位 或 动态规划 + 最高有效位，时间复杂度都是 O(n)。