计算机视觉——照相机标定（作业五）

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一、针孔照相机模型

（一）概念

针孔照相机模型 （有时称为射影照相机模型）是计算机视觉中广泛使用的照相机模型。对于大多数应用来说，针孔照相机模型简单，并且具有足够多精确度。这个名字来源于一种类似暗箱机的照相机。该照相机从一个小孔采集射到暗箱内部的光线。针孔相机模型就是把相机简化成小孔成像，在这种模型下，物体的空间坐标和图像坐标之间是线性的关系，因此对相机参数的求解就归结到求解线性方程组上。而相机标定就是确定相机的内部参数和外部参数。

（二）坐标转换

摄像机标定简单来说是从世界坐标系转换为相机坐标系，再由相机坐标系转换为图像坐标系的过程，也就是求最终的投影矩阵$P$的过程。如图：

相机坐标系	图像坐标系

对上图的解读：
$C$ 点表示camera center，即相机的中心点，也是相机坐标系的中心点；
$Z$轴表示principal axis，即相机的主轴；
$p$点所在的平面表示image plane，即相机的像平面，也就是图片坐标系所在的二维平面；
$p$点表示principal point，即主点，主轴与像平面相交的点
$C$点到$p$点的距离，也就是右边图中的$f$表示focal length，即相机的焦距；
像平面上的$x$ 和$y$坐标轴与相机坐标系上的$X$和$Y$坐标轴互相平行；
相机坐标系是以$X$、$Y$ 、$Z$三个轴组成的且原点在$C$点，度量值为米(m)；
像平面坐标系是以$x$、$y$两个轴组成且原点在$p$点，度量值为米(m)；
图像坐标系一般指图片相对坐标系，在这里可以认为和像平面坐标系在一个平面上，不过原点是在图片的角上，而且度量值为像素的个数(pixel)。

将三维世界中的点转化为像平面坐标系中的点，就需要进行相机坐标系到像平面坐标系的转换，我们可以得到转换公式：

可表示为矩阵计算：

或者：

（三）像主点偏移

矩阵计算中加了一个p点坐标的偏移量。

（四）内参矩阵

最后，我们便可以得到相机内参(Intrinsic parameters)$K$:

（五）畸变现象

摄像机校准一般采用小孔成像模型，理想的小孔模型是线性模型，但是由于存在镜头畸变等原因，线性模型通常要加上一些内部参数，变成非线性模型。
相机的成像过程实质上是坐标系的转换。首先空间中的点由 “世界坐标系” 转换到 “像机坐标系”，然后再将其投影到成像平面 ( 图像物理坐标系 ) ，最后再将成像平面上的数据转换到 图像像素坐标系。但是由于透镜制造精度以及组装工艺的偏差会引入畸变，导致原始图像的失真。镜头的畸变分为径向畸变和切向畸变两类：

图像径向畸变：沿着透镜半径方向分布的畸变，产生原因是光线在原理透镜中心的地方比靠近中心的地方更加弯曲，这种畸变在普通廉价的镜头中表现更加明显，径向畸变主要包括桶形畸变和枕形畸变两种。

原图	桶形	枕形

图像切向畸变：由于透镜本身与相机传感器平面（成像平面）或图像平面不平行而产生的，这种情况多是由于透镜被粘贴到镜头模组上的安装偏差导致。

（六）畸变矫正

径向畸变矫正公式：

切向畸变矫正公式：

解读：
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