3.3.2 纠错编码（海明校验码）

在这一小节中，我们会继续探讨海明校验码，海明校验码又可以称为汉明教验码，这只是一个音译的问题，因为发明这个校验码的人叫理查德 汉明，也正是因为发明了海明码，对于信息纠错这个领域的贡献十分巨大，所以这个人获得了1968年的图灵奖。这一小节中，我们会首先介绍海明码的基本实现思想，然后再来介绍怎么构建海明码、怎么使用海明码来进行校验。

首先我们从奇偶校验出发，这种校验的思想很简单，对于n个有效的信息位，我们只需要在首部或者尾部添加一个奇校验位或者偶校验位，用这样的方式构成奇偶校验码。比如对于偶校验来说，四个信息位1010，我们需要在头部添加一个零保证整体来看总共有偶数个1。奇偶校验码的一个局限性就是我们只能发现奇数位的错误，并且我们知道它错了，但是我们无法确定是哪一位出了错，所以当我们发现错误的时候，我们没办法自动的把它进行修正，只能要求数据的传输方重新传送。可以这么来理解：由于奇偶校验的策略，我们只添加了一个校验位，也就是一个比特的信息，而一个比特的冗余信息，显然它只能携带两种状态，也就是只能反馈对或者错这样的两种状态。

而这一小节我们要学习的海明码，其实是基于偶校验的一个拓展。大致的思路是这样的：对于n个有效的信息位，我们会把它分为k个分组，然后对k个分组分别的进行偶校验，也就是说，每一个分组会对应一个校验位，最终我们会携带k个校验位，而这 k 个校验位显然可以反映更多种状态的信息。除了反馈对错之外，我们甚至还可以知道错在哪儿，是哪一位出了错，这就是海明码的设计思想。基于这个思路，我们接下来要探讨两个问题，第一个问题，我们需要把这n个信息位分为多少个分组呢？第二个问题，这n个信息位我们应该怎么把它们分派到各个分组当中。

首先我们来探讨第一个问题，需要设置多少个校验位？我们假设信息位总共有n个，然后我们添加的冗余校验位有k个，现在我们所期待的效果是k个校验位除了能反映对错之外，还能指明我们到底是哪一个比特位出现了错误，显然k个比特总共能表示二的k次方这么多种状态。而我们的海明校验