矩阵翻硬币 （高精度乘法，高精度求平方根）

问题描述
　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。


　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。


　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。


　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。


　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。


　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。


　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
输入格式
　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出格式
　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
样例输入
2 3
样例输出
1
数据规模和约定
　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
 


 


本来以为还是一道模拟题，聪（bai）明（chi）的小M也是too young too simple，其实，看到题目的数据范围我们应该已经感觉到，模拟绝对没戏，接下来我们仔细分析一下这道题的解法。


 


1.很容易得出，如果一枚硬币被翻了奇数次，那么它原来的状态肯定是反面朝上，所以，我们要找的就是被翻了奇数次的硬币


2. Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。正向看可能不好想，那么我们反向看一下，对于一个横坐标为N的硬币，在翻哪些硬币（横坐标x）的时候会翻到它呢？其实就是这个数N所有的约数，比如横坐标为4的硬币，那么，在翻横坐标为1，2，4的硬币时都会翻到它，纵坐标的情况是一样的。


3.对于一个硬币，我们必须同时考虑其横坐标x和纵坐标y，假如横坐标被翻了a次，纵坐标被翻了b次，则这个硬币总共被翻了a*b次，若想要这个硬币被翻奇数次，a和b必须都得是奇数，即x和y都有奇数个约数


4.那么问题来了：哪些数有奇数个约数呢？不管你知不知道，反正现在你知道了，完全平方数有奇数个约数。那么什么又是完全平方数呢，简单的说就是n^2，n为自然数，也就是0，2，4，9……


5.问题又来了，怎么求完全平方数的个数呢，首先，我们已经知道了这个矩阵式n*m的，而且是从1开始编号的，对于n，我们可以求sqrt（n），然后取整，容易想出，在1-n的范围内的完全平方数的个数为（int）（sqrt（n））个，而sqrt（n）*sqrt（m）就是所有的横纵坐标都是完全平方数的硬币的个数。


6.下面，我们迎来了终极问题，题目思路有了，但是超大规模的数据问题并没有得到解决，反而更麻烦了，因为居然还搞出了个开方的操作，但很不幸，这就是一道悲催的大数高精度题，而且还得自己写出大数相乘，大数开方，大数比较等操作


 


OK，下面开始就全部都是大数运算的相关知识了，如果你已经很熟悉可以无视


 


首先，让我们明确一下思路，到底如何实现乘法和开方，对于大数的存储，我们使用string，因为它的长度比较容易控制


 


乘法：其实有很多速度快而且更巧妙的大数乘法，但是在蓝桥杯，我们只要使用模拟手算法应该是问过，虽说是模拟，但也有一些我们常用但不太了解的规律，我们在手算乘法的时候，需要进行移位和进位，这两个操作我们会通过两步完成


1.移位：对于两个数a=12，b=25，在相乘的时候我们让每一位数分别相乘，即a[0]*b[0]=2 , a[0]*b[1]=5 , a[1]*b[0]=4 , a[1]*b[1]=10，那么规律就是，对于两个数a[i] , b[j]，所有i+j相同的数都要加到一起，所以我们要把5+4=9合并为一个数，也就是说，将每一位数相乘之后，我们实际得到了2，9，10三个没有进位的数


2.进位：通过上面的操作，我们的2，9，10三个没有进位的数，下面就要进行进位，因为我们是把高位相乘得到的数放在前面，地位相乘得到的数放在后面，所以这三个数排列自然也是高位在前，地位在后，所以要从右向左进位，进位的方法就是a[i]=a[i+1]/10 , a[i+1]=a[i+1]%10，如果放到这三个数上面，就是，9+10/10=10，然后10%10=0，这三个数变成2，10，0，再一次就是2+10/10=3，10%10=0，三个数变为3，0，0，而这正是我们要求的结果，在实际操作中，我们习惯于将数倒着存放，即将数存为10，9，2，这是为了进位方便，因为如果正序的话如果最高位发生进位我们就要将每一个数向后移动一位从而挪出一个空位，想想都麻烦，倒序的话因为是向后进位，想怎么进就怎么进


 


开方：这个开方方法不是我想出来的，是参照了网上的一个方法，我感觉挺好。实际上也可以用牛顿逼近法。


这个方法的前提：假如一个数有偶数位n，那么这个数的方根有n/2位；如果n为奇数，那么方根为（n+1）/2位。


然后，让我们实际看一个例子，我们假设这个数就是1200


1.很明显，它有4位，所以它的方根有2位，然后，我们通过下面的方法来枚举出它的整数根


 00*00=0<1200


    10*10=100<1200


    20*20=400<1200


    30*30=900<1200


      40*40=1600>1200


所以，这个根的十位就是3，然后，再枚举个位


                                                    31*31=961<1200


32*32=1024<1200


33*33=1089<1200


34*34=1156<1200


35*35=1225>1200


所以，这个根就是34，因为平方增长的速度还是比较快的，所以速度没有太大问题，这里有一个地方需要处理一下，如果一个数很长，那么它的方根的位数也比较长，在枚举高位的时候，我们没有必要把后面的0都加上，因为那样会影响速度，其实0的个数完全可以算出来，然后将0的个数一起送入比较函数比较即可，这样可以提高速度

比较：上面我们说过，比较函数接受的两个数只有一个是完整的数，另外一个实际上是高几位的平方和0的个数，但处理方式差不多，都是先比较位数，位数大数就大，位数一样就逐位比较，只要别忘了比较那一堆0就好了，最后其实不用把情况分的太清楚，只要返回0，1就行，因为只有当一个数大于n的时候才对我们有意义

代码示例：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>


using namespace std;


string strMul(string a, string b)
{
string result = "";
int len1 = a.length();
int len2 = b.length();
int i, j;
int num[1001] = { 0 };
for (i = 0; i < len1; i++)
{
for (j = 0; j < len2; j++)
{
num[len1 - 1 + len2 - 1 - i - j] = num[len1 - 1 + len2 - 1 - i - j]+(a[i] - '0')*(b[j] - '0');//高位乘高位=高位（如:千位乘千位放到百万位上）  num[0]是最低位   这个有len1+len2-1个数（还没进位）
}
}


for (i = 0; i<len1 + len2; i++)
{
num[i + 1] =num[i+1]+ num[i] / 10;//进位
num[i] = num[i] % 10;//
}


for (i = len1 + len2 - 1; i >= 0; i--)
{
if (num[i] != 0)//不一定全用上， 如1000*1000是1000000（7位）而非8位
break;
}
for (; i >= 0; i--)
{
result =result+ (char)(num[i] + '0');
}
return result;
}


int strCmp(string a, string b, int pos)//pos:0的位数 
{
int i;

if (a.length() + pos>b.length())
return 1;
if (a.length() + pos<b.length())
return 0;
if (a.length() + pos == b.length())
{
for (i = 0; i<a.length(); i++)
{
if (a[i]<b[i])
return 0;
if (a[i] == b[i])
continue;
if (a[i]>b[i])
return 1;
}


}
}


string strSqrt(string a)
{
string result = "";
int i;
int len = a.length();
if (len % 2 == 0)//偶数位平方根是偶数位/2
len = len / 2;
else
len = len / 2 + 1;//奇数位平方根是奇数位/2+1
for (i = 0; i<len; i++)//每一位都是如此
{
result = result + '0';
while (strCmp(strMul(result, result), a, 2 * (len - 1 - i)) != 1)
//1233 四位  平方根2位  开始枚举 0*0<1200 10*10<1200 20*20<1200 30*30<1200,40*40>1200
{
if (result[i] == ':')//':'-'9'=1
break;
result[i]++;//会加到4 刚好大于1200
}
result[i]--;//减一 为3
}
return result;
}


int main()
{
string n, m;
cin >> n >> m;
cout << strMul(strSqrt(n), strSqrt(m)) << endl;

return 0;
}