《DFS》《剪枝》Problem C. 买蛋糕

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探讨如何使用最少数量的不同正整数来组合成任意小于等于n的正整数，通过递归搜索和剪枝策略寻找最优解。

Problem C. 买蛋糕

时间限制 1000 ms
内存限制 128 MB

题目描述

　　野猫过生日，大家当然会送礼物了（咳咳，没送礼物的同志注意了哈！！），由于不知道送什么好，又考虑到实用性等其他问题，大家决定合伙给野猫买一个生日蛋糕。大家不知道最后要买的蛋糕的准确价格，而只会给蛋糕估价，即要买一个不超过多少钱的蛋糕。众OIer借此发挥：能否用最少的钱币数去凑成估价范围内的所有价值，使得不管蛋糕价值多少，都不用找钱……
　　现在问题由此引出：对于一个给定的n，能否用最少的不等的正整数去组成n以内（包括n）的所有的正整数呢？如果能，最少需要多少个正整数，用最少个数又有多少不同的组成方法呢？

输入数据

只有一行包含一个整数 n (1≤n≤1000)n (1≤n≤1000) 。

输出数据

一行两个数，第一个数是最少需要多少个数，第二个数是用最少个数的组成方案个数。两个答案用空格分隔。

样例输入

样例输出

3 2

样例说明

最少用三个数，有两种方法，分别是：1，2，3和1，2，4。
对于1，2，3有1，2，3，1＋3，2＋3，1＋2＋3；
对于1，2，4有1，2，1＋2，4，1＋4，2＋4。

整体思路：

剪枝：基元数为m，当确定m-1个基元之后要确定第m个基元时，
首先第m个基元>maxI且第m个基元<=n+1 当第m个基元>n+1 会出现n+1这个数无法表示如 1 2 5（5=3+2） 4无法被表示
其次会出现3种情况
1.2*sum+1<n(sum：m-1个基元确定的最大值n（m-1）);return 0 因为m基元最大是sum+1
2.sum+maxI+1>=n 会增加 sum+1-（maxI+1）+1=sum-maxI+1种情况；
3. else sum+x>=n (n>maxI+1） x=n-sum 会增加 sum+1-(n-sum)+1=2*sum-n+2种情况;

最后呢，对所有可能的基元进行搜索即可。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#define INF 0x7FFFFFFF //int 最大值

using namespace std;

int n, m;// n：要表示1...n的数  m：最小基元数
int result = 0;
//基元为m，当确定m-1个基元时，要确定第m个基元时，
// 首先 m基元>maxI且m基元<=n+1  当m基元>n+1 会出现n+1这个数无法表示  如 1 2 5（5=3+2）  4无法被表示
//其次会出现3种情况
// 2*sum+1<n(sum：m-1个基元确定的最大值n（m-1）);return 0 因为m基元最大是sum+1
//sum+maxI+1>=n 会增加 sum+1-（maxI+1）+1=sum-maxI+1中情况；
// else sum+x>=n  (n>maxI+1） x=n-sum    会增加 sum+1-(n-sum)+1=2*sum-n+2种情况;

int dfs(int num,int maxI,int sum)//num 基元的个数 maxI 最大基元， sum 基元组成的最大和 即所有基元相加
{
	if (num == m)// 要确定m基元了
	{
		if (2 * sum + 1 < n)//不能满足条件，不加情况。
			return 0;
		else if (sum + maxI + 1 >= n)
			result += sum - maxI + 1;
		else
			result += 2 * sum + 2 - n;
        return 1;
	}
    for (int i = sum + 1; i >= maxI + 1; i--)//m基元>maxI且m基元<=n+1 对于maxI+1到sum+1一次遍历
        dfs(num + 1, i,sum+i);
}
int main()
{
	cin >> n;
	//因为电脑是二进制的，所以p个数字最多能组成2^p-1  eg 1 2 4 2^3-1=7  就是1+2+4=7; 反之1...n最少需要向下取整log(n)+1个
	m = floor(log2(n)) + 1;//m就是需要使用的最少个数
	dfs(1, 0, 0);//从第一个数开始确定
	cout << m << " " << result << endl;
	return 0;
}