浅谈位运算2

位运算2

紧接上回，这回我们来谈一下上次没有说完的3，4，如有错误请大佬指教
3.位运算的各种nb操作
4.位运算实现加减乘除

3.位运算各种nb操作

因为位运算的性质比较简单，所以我这里就不展开叙述了，这里准备了几个题目，让我们 体会一下位运算的精妙之处。
1.判断一个整数是否是2的幂
思路：可能许多人会说，这跟位运算有什么关系？我只要从小到大枚举2的幂，依次与所给数判断相等不相等不就行了吗？的确，这种方法是可行的，但这种方法的时间复杂度为O(logn),太高了。我们想要优化到O(1)的时间复杂度，这时我们就要用到位运算了。我们不妨 观察2的幂的二进制数，发现有一个共同的特点：那就是它们的二进制位数上有且只有有一个1！所以只要我们将目标数转换为二进制数，判断他是否只有一个1就行了。那如何判断它只有一个 1呢？这时我们就不得不提到我们位运算 的一个大明星“lowbit"函数，该函数的作用是获取一个数二进制数最右侧的1。它在树状数组中有着十分重要的作用，它的原理我这里就不展开讲述了，有兴趣的可以自行搜索一下。当我们获得了lowbit函数所得到的数x，将 x与 目标数进行判断，如果两者相等，那么目标数是2的幂，否则不是。
下面 我们看code

class Solution
{
public:
	int lowbit(int x)
	{
		return x & (-x);
	}
	bool check(int num)
	{
		if (num>0&&num == lowbit(num))
			return true;
		return  false;
	}
};

2.返回>=n的最小的2的幂
思路：这一题不用位运算，用暴力的思想的话十分的简单，但用位运算的话可能就不是那么的好想了
首先我们让n-1,例如n=20,二进制数为010100,减1后为010011，将最左侧的1之后的数全部刷成1，即011111，再让这个数+1,得到100000，结果为32，即为目标数。其实我们仔细想一下，的确实这样的，如果一个数a它不是2的幂那它一定存在一个数x使2^x<a <2^(x+1), 那么a-1 >= 2^x的， 我们的目标就是2^(x+1),a-1的有效二进制位数与 2^x的位数是一样的，所以我们只需要将a-1的有效位上的数全部刷成1，然后再加1，就得到了目标数，n–的目的就是防止a为2的幂的特殊情况。
而我们如何将最左侧的1之后的数全刷成1呢？只需要将先将a|=a>>1;那么左侧最少有2个1，再a|=a>>2,那么左侧最少有4个1，因为int 只有32位，所以最多只需要>>16;
下面我们看code

class Solution
{
public:
	int MinPowOfTwo(int num)
	{
		if (num <= 0)
			return 1;
		num--;
		num |= num >> 1;
		num |= num >> 2;
		num |= num >> 4;
		num |= num >> 8;
		num |= num >> 16;
		num++;
		return num;
	}
};

关于位运算，就介绍到这里，我说的都是一些很基本的内容，实际上位运算有更加牛逼的操作，那些操作有的令人直呼：wc。如果 想看的话，你可以去b站左程云大神的视频观摩学习，我的blog的内容也是根据左神的内容来写的，在这里不得不感谢一下左神，左神yyds!

4.位运算实现加减乘除

1.位运算实现加法

说到加法，我们 可以用小学学过的摆式子的方式来理解加法，也就是个位与个位相加，十位与十位相加······，谈到相加我们不禁想起了位运算中有一个无进位相加——异或，但实际上的相加为有进位相加，该怎么调整呢？其实我们只需要记录一下进位信息即可，最后加上进位信息。
下面我们看一下code

class Solution
{
public:
	int add(int a, int b)
	{
		int ans = a;
		while (b != 0)
		{
			//ans表示a与b无进位相加的结果
			ans = a ^ b;
			//表示进位信息
			b = (a & b) << 1;
			a = ans;
		}
		return ans;
	}

2.位运算实现减法

实际上减法就是加法，只不过是加个减数的相反数罢了，而减数的相反数其实就是原数取反+1。所以a-b=a+(-b)=a+(~b+1)
所以code

class Solution
{
		int sub(int a, int b)
	{
		//a-b也就是a+(-b),-b可以表示为~b+1
		return add(a, add(~b, 1));
	}

};

3.位运算实现乘法

位运算实现乘法也可以用摆式子的方式理解，例如67，我们将这两个数转化成二进制数01100111，我们从7的最右侧位开始看，10110，我们定义一个变量ans接收计算过的值，所以ans+=0110,然后我们再用7倒数第二位的10110，这时最右侧的1就已经没用了，所以再计算前将0111右移一位，则之前倒数第二位1变成了最右侧的1，拿这个1*0110，并且此时我们要将所得的计算结果左移1位然后ans+=01100,就这样计算，直到7为0；而ans就是最终的结果
但是以上只能针对于非负数相乘才成立，因为如果是负数相乘的话，其最高位为1，将其右移的话最高位会补1而不是补0，这一点如果是java的同学可以用无符号>>>来弥补，但是c++的语法里没有>>>,这是只能我们手写无符号右移函数
下面我们直接上代码，通过代码来理解

class Solution
{
public:
	
	int f(int x, int cnt)
	{
		/*
		如果x为负数x>>cnt位后左侧就会出现cnt个1，我们需要
		将这cnt个1变为0，我们只需要将(1<<32-cnt)-1后与x>>cnt&一下即可
		*/
		return (x >> cnt) & (sub(1 << sub(32,cnt), 1));
	}
	int mul(int a, int b)
	{
		int ans = 0,cnt=1,res=b;
		if (a == 0 || b == 0)
			return  0;
		while (b != 0)
		{
			int temp = b & 1;//获取b的最后一位
			if (temp)
			{
				ans += a;
			}
			a <<= 1;
			b = f(res, cnt++);//b进行无符号右移
			//f为无符号右移函数
		}
		return ans;
	}
};

4.位运算实现除法

除法的实现可能就要复杂一点，我们先从例子入手，例如45/4，跟之前的加减乘法不一样，我们不需要先将两个数转换成二进制数，我们只需要判断被除数与除数2的幂的大小即可，也就是45与42的幂的大小，2先从2的30次方开始，即比较452^30与45的大小，如果前者大，指数-1，直到比到45>= 4(2^i),此时i=3，
所以二进制第三位上为1（注意这里的第三位实际上是第四位），然后让45-4*
2^3=13,i从2继续开始判断，直到判断到i=0;最终得到的数是1011，转换成10进制数为11，答案正确。
但仔细想一想这是有着十分严重的问题的，因为你开始让452^30次方，这个数在int范围内是溢出的，直接把这个数溢出成负数了，那还判断个毛线呀。这时就有一个很巧妙的方法，原式是判断a>=b(2 <<i),那我们可以 两边同时除以2 ^i,原式就变成了a>>i >=b;这样就避免了溢出风险。下面我们看一下code

class Solution
{
public:
	int add(int x, int y)
	{
		//无进位相加再加上进位信息
		int ans = x;
		while (y != 0)
		{
			ans = x ^ y;
			y = (x & y)<<1;
			x = ans;
		}
		return ans;
	}
	int neg(int x)//对所传入的数取反
	{
		return add(~x, 1);
	}
	int sub(int x, int y)
	{
	  //将减法看成加法
		return add(x, neg(y));
	}
	int div(int x, int y)
	{
		//先将这两个数转换成两个非负数
		int a = x > 0 ? x : neg(x);
		int b = y > 0 ? y : neg(y);
		int ans = 0;
		for (int i = 30; i >= 0; i=sub(i, 1))
		{
			if ((a >> i) >= b)
			{
				ans |= 1 << i;
				a = sub(a, b << i);
			}
		}
		return (x > 0) ^ (y > 0) ? neg(ans):ans;
	}

};

但是上述的写法仍然存在一点问题，就是如果说a,b中存在整数最小值的话，那么该做法就是错误的，因为如果存在整数最小的话，int的范围是-2^31~ 2 ^31-1,不存在 2 ^31这个数，有的同学就说了那我就转换成long long 类型不就行了吗，的确可以，但这是 一种治标不治本的做法，如果所给的数是long long 最小呢，所以我们要从根本上解决这个问题
我们分析一下当a,b两者中至少有一个整数最小时的情况
1.当a=b=min时，直接返回1；
2.当a=min,b=1或-1时，结果为min或max+1(整型不支持转换成字符串型）
3.当a！=min，b=min时，结果为0；
4.当a=min, b!=min时，
这时当b>0时，a/b=((a+b)/b)-1;这样a+b,b就可以调用div函数
当b<0时，a/b=((a-b)/b)+1; 这样就可以调用div函数了
这段code我就不发了，大家可以练习一下

最后位运算就剩位图的实现了，欲知后事如何，且听下回分解。