<学习笔记>manacher算法

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原创最新推荐文章于 2026-07-06 23:15:08 发布 444 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

我是吐槽，你看不到我~~ (*/ω＼*) 清北学堂学习第七天来了个特别漂亮的小姐姐（syq）讲了字符串算法，如 kmp，manacher，hash…还特别安利说manacher可以O(n)复杂度解决回文子串问题233 ~~上课只顾着看小姐姐了~~。下午考试她说有上午学的一部分内容，说帮我们巩固一下。道理我都懂，可是上来第一题就是manacher算法是要闹那样啊，内流满面T^T。。。我上午只看了看思想啊QAQ。。。一定要把模板保存下来。。。

回文串问题

最长回文子串问题：给定一个字符串，求它的最长回文子串长度（n<=10^7）

*回文串：正序和逆序相等的串。从中心轴出发左右对称，中心轴可以是一个字符，也可以是两个字符间的一个间隙。

暴力吗？
枚举每个子串暴力判断…n^3 !！
那优化一下？
枚举中心轴看最长扩展长度。
那字符间隙呢？
在字符间隙里再插上一个#就好了… n^2！（保证#在原串中没有出现过）
还能优化吗？
发现形如 ababababa 发现枚举第3个b时的回文串在枚举第三个a时已经被匹配过一遍了，考虑能不能像kmp算法一样利用之前的匹配信息？

答案是可以的!

Manacher算法

在O(n)时间内，计算出一个字符串以每个位置为中心轴（一个字符或者字符间隙）最长能扩展出多长的回文串。

预处理：将所有的字符都转为奇数长度。
aba–> #a#b#a#
abba–>#a#b#b#a#

另，设r[i]为以i为中心轴的最长匹配半径（不包括i）

栗子：

# a # b # a #
0 1 0 3 0 1 0
# a # b # b # a #
0 1 0 1 4 1 0 1 0

发现r[i]恰好就是以i为中心的最长回文串长度。

能否快速求出r?

定义两个变量：

pos=一个当前向右延伸的位置最远的回文串的中心轴。
maxn_r=这个中心轴的r。

这里写图片描述

前提：i>pos

计算r[i]时分三种情况讨论：

① i < maxn_r 时：取i关于pos的对称点j
由回文串性质，可知
⑴ 若r[j]+i<=maxn_r , r[i]=r[j];

这里写图片描述

⑵若r[j]+i>maxn_r,
可知 i~maxn_r一段一定是回文串。
从maxn_r+1开始逐位匹配并更新maxn _r和pos。
maxn_r=i+r[i],pos=i;

这里写图片描述

② i>=maxn_r时从i往右开始逐位匹配，maxn _r=i+r[i],pos=i;

这里写图片描述

代码：

void Manacher()
{
    l=strlen(b);
    for(int i=0;i<l;++i)
    {
        a[i<<1]='#';
        a[i<<1|1]=b[i];
    }
    l=l*2+1;
    a[l-1]='#';
    maxn_r=0,pos=0;
    for(int i=0;i<l;++i)
    {
        if(maxn_r>i) r[i]=min(maxn_r-i,r[2*pos-i]);
        else r[i]=0;
        while(i+r[i]+1<l&&i-r[i]-1>=0&&a[i+r[i]+1]==a[i-r[i]-1]) r[i]++;
        if(r[i]+i>maxn_r)
         {
            maxn_r=r[i]+i;
            pos=i;
         }
    }
}

一道简单题

题目描述

小 A 是个学渣，很快就要到 3000 年 NOIprofessional 初赛了，然而他什么题都不会写。
于是他开始研究往年卷的选项分布（然并卵）。
小 A 有 M 份试题。由于是 professional 版本的考试，初赛试题题目数量 N 非常大。小
A 发现，某些年份的答案序列里有很多长度超过 k 的回文子串。极长回文子串 str 定义
为以答案序列 s 中不存在与 str 同对称轴的更长回文子串。小 A 想知道，每个年份的答
案序列里有多少长度超过 k 的极长回文子串。

输入格式

第一行两个数字 M，k，表示试卷数和长度下限 k
接下来 M 行，每行一个正整数和一个字符串，表示试题的年份和答案，答案序列不区
分大小写。

输出格式

输出共 M 行，每行两个数，第一个数为年份，第二个数为长度超过 k 的极长回文子串
的数量。按照数量递减，数量相同时年份递增的顺序输出。

样例输入

5 3
2011 bacddcb
2000 cacac
2012 aaacdadd
2008 dcdaa
1999 abcda

样例输出

2000 3
2012 2
2008 1
2011 1
1999 0

格式要求

输入文件 Xuezha.in
输出文件 Xuezha.out
时间限制：1s 内存限制：256MB
数据范围
年份 Y，2000<=Y<3000
对于 30%的数据，1<=M<=10，1<=N<=100，1<=k<=100
对于 100%的数据，1<=M<=100，1<=k<=100000，1<=N<=100000

模板题呦φ(>ω<*)

特别注意！！！题目里是不区分大小写的！！！就是说数据里有大写！！就这一点全场wa了一片，没几个有分的QAQ。 wa的一声就哭了。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

int maxn_r,pos,l,k,K,M;
int r[200050];
char a[200050],b[100050];
struct maple{
    int year;
    long long num;
}Paper[120];
bool cmp(maple a,maple b)
{
    if(a.num==b.num) return a.year<b.year;
    else return a.num>b.num;
}
void Done()
{
    l=strlen(b);
    for(int i=0;i<l;++i)
    {
        a[i<<1]='#';
        if(b[i]>='A'&&b[i]<='Z') a[i<<1|1]=b[i]-'A'+'a';  // 单独写会T , mengbi
        else a[i<<1|1]=b[i];
    }
    l=l*2+1;
    a[l-1]='#';
    maxn_r=0,pos=0;
    for(int i=0;i<l;++i)
    {
        if(maxn_r>i) r[i]=min(maxn_r-i,r[2*pos-i]);
        else r[i]=0;
        while(i+r[i]+1<l&&i-r[i]-1>=0&&a[i+r[i]+1]==a[i-r[i]-1]) r[i]++;
        if(r[i]+i>maxn_r)
         {
            maxn_r=r[i]+i;
            pos=i;
         }
    }
}

int main()
{
    freopen("Xuezha.in","r",stdin);
    freopen("Xuezha.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&M,&K);
    for(int i=1;i<=M;++i)
    {
        scanf("%d",&Paper[i].year);
        Paper[i].num=0;
        scanf("%s",b);  // 这里用cin，cout也会T
        Done();
        for(int j=0;j<l;++j)
           if(r[j]>=K) ++Paper[i].num;
    }
    sort(Paper+1,Paper+M+1,cmp);
    for(int i=1;i<=M;++i)
    {
        printf("%d %lld\n",Paper[i].year,Paper[i].num);
    }
    return 0;
}