CodeForces - 678D Iterated Linear Function-优快云博客

本文探讨了如何高效计算迭代线性函数 g(n)(x) = f(g(n-1)(x)) 的值，并给出了一种取模运算下的解决方法。特别地，针对 a^n 和 (1-a^n)/(1-a) 的计算提供了具体实现，使用快速幂和乘法逆元等技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Consider a linear function f(x) = Ax + B. Let's define g(0)(x) = x and g(n)(x) = f(g(n - 1)(x)) for n > 0. For the given integer values A,B, n and x find the value of g(n)(x) modulo 109 + 7.

Input

The only line contains four integers A, B, n and x (1 ≤ A, B, x ≤ 109, 1 ≤ n ≤ 1018) — the parameters from the problem statement.

Note that the given value n can be too large, so you should use 64-bit integer type to store it. In C++ you can use the long longinteger type and in Java you can use long integer type.

Output

Print the only integer s — the value g(n)(x) modulo 109 + 7.

Examples

input
3 4 1 1

output
7

input
3 4 2 1

output
25

input
3 4 3 1

output
79

题意：

fx=ax+b

g0=x

gn=f(gn-1)+b=a*(gn-1)+b

求gn

思路：

通过递推关系可以得到

a=1时 gn=x+b*n

否则 gn=a^n*x+b*(1-a^n)/(1-a)

取余的运算对加减法和乘法满足分配率，但对除法不满足，如果式子中存在除法并且要对式子取余，需要将除法用乘法逆元转化为乘法

求 a / b %c

如果c是素数，则原式= a * b^c-2 % c

如果c不是素数，需要用扩展欧几里得求逆元

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll fpow(ll a,ll b)
{
	ll ans=1;
	ll tmp=(a%mod);
	while(b)
	{
		if(b&1)
		ans=(ans*tmp)%mod;
		b/=2;
		tmp=(tmp*tmp)%mod;
	}
	return (ans%mod);
}
int main()
{
	ll a,b,n,x;
	cin>>a>>b>>n>>x;
	if(n==0)
	{
		printf("%lld\n",x%mod);
		return 0;
	}
	if(a==1)
	{
		printf("%lld\n",(x%mod+(b%mod*(n%mod))%mod)%mod);
		return 0;
	}
	ll d=fpow(a,n);
	ll ans=(d*x%mod+b%mod*(1-d)%mod*fpow(1-a,mod-2)%mod)%mod;
	printf("%lld\n",ans);
}