8.1递推关系的运用

8.1.1 兔子和斐波拉契数列

思路：用$f_n$表示n个月后的兔子对数。

转化思想：当n$\ge$3的时候，$f_n$等于前一个月的对数$f_{n-1}$加上新出生的兔子（$f_{n-2}$）。
$f_n$= $f_{n-1}$+ $f_{n-2}$

8.1.2 汉诺塔

思路：用$f_n$表示解n个盘子的汉诺塔问题所需要的移动次数。

转化思想：我们可以先用$f_{n-1}$次移动将上边的$n-1$个盘子移到柱c，在这些移动中保留最大的盘子不动。然后我们用一次移动将最大的盘子移到第二根柱子上面。我们可以再使用$f_{n-1}$次移动将柱c上的n-1个盘子移动到柱b，把它们放在最大的盘子的上面。
$f_{n-1}$+ $f_{n-2}$

8.1.3 连续串

找出不含2个连续0的n位二进制串的个数。

思路：用$f_n$表示不含2个连续0的n位二进制串的个数。
由于二进制串的最后一位必须是0和1中的一个，所以当最后一位为1的时候，转换成了不含2个连续0的$n-1$位二进制串的个数，如果最后一位是0，那么倒数第二位必须是1，于是转换成了不含2个连续0的$n-2$位二进制串的个数。
$f_{n-1}$+ $f_{n-2}$

8.1.4 编码字的枚举

背景知识：计算机把一个十进制数字串作为一个编码字，如果它包含偶数个零，那么他就是有效的，找出$n$位有效编码字的个数。

思路：用$f_n$表示$n$位编码字的个数。

转化思想：当$n=1$的时候，容易知道有9个；
我们考虑在下面两种情况：
（1）在一个$n-1$位的有效数字串的后面加一个非零的数字就构成了n位有效的数字串，因此这种方法一共构造了$9 f_{n-1}$种；
（2）在一个$n-1$位的无效数字串的后面加一个零就构成了n位有效的数字串，因此这种方法一共构造了$10^{n-1}-f_{n-1}$种；
结合上面两种情况，我们知道一共有$10^{n-1}-f_{n-1}+9 f_{n-1}$=$10^{n-1}+8 f_{n-1}$

8.1.4 乘积中加括号规定乘法的次数的方式数

背景知识：求关于$C_n$的表达式，其中$C_n$是通过对$n+1$个数$x_1$$\cdot$$x_2$$\cdot$$x_3$$\cdot$$\ldots$$\cdot$$x_n$的乘积中加括号来规定乘法次数的方法数。

解题思路：

我们可以发现，无论我们怎样在其中加括号，用会有一个“$\cdot$”留在所有括号的外面，即执行最后一次乘法的运算。这个最后的运算符出现在$n+1$个数中的两个数字之间，比如说$x_k$和$x_{k+1}$之间。当最后的运算符出现在$x_k$和$x_{k+1}$之间时，存在
$C_k$$C_{n-k-1}$种方法插入括号来决定n+1个数被乘的次数，因为有$C_k$种方法在$x_1$$\cdot$$x_2$$\cdot$$x_3$$\cdot$$\ldots$$\cdot$$x_k$中插入括号来决定这k+1个数字的乘法次序，所以有$C_{n-k-1}种方法在乘积$$x_{k+1}$$\cdot$$x_{k+2}$$\cdot$$x_{k+3}$$\cdot$$\ldots$$\cdot$$x_n$来插入括号来决定这n-k个数字的乘法次序
初始条件是$C_0$=1，$C_1$=1；

8.2 动态规划