图的基本概念

• 图的定义：G = (V,E),V是顶点集(非空)，E是边集，|V|表示顶点个数，也称为图G的阶；|E|表示边的条数
• 无向边与有向边：设v,w是顶点，无向边记为(v,w)或(w,v),因为(v,w) = (w,v)。有向边(也称弧)记为，称v为弧尾，w为弧头，由v指向w
• 简单图：①不存在重复边②不存在顶点到自身的边
• 多重图：①允许图中某两个结点之间的边数多于1条②允许顶点通过同一条边和自己关联
• 完全图(也称为简单完全图)：图中任意两个顶点都存在边(无向图最多有n(n-1)/2条边，有向图最多有n(n-1)条边)
• 顶点的度：依附于顶点v的边的条数，记为TD(v)
• 无向图中，全部顶点的度的和 = 边数的2倍，因为每条边与两个顶点相关联
• 有向图中，出度 = 入度 = 边数，因为每条边有一个起点和终点
• 路径：两个顶点之间的路径是指一个顶点序列(序列中包含这两个顶点)
• 路径长度：路径上边的数目
• 回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环
• 若一个图(无论是有向图还是无向图)，有n个定点，并且有大于n-1条边，则图一定有环
• 简单路径：路径序列中，顶点不重复出现的路径
• 最短路径：两个顶点的不同路径中，所经过的边的权重之和最小的路径。若边没有权重，则是边的条数最少的(即路径长度最小)
• 简单回路：除第一个顶点和最后一个顶点，其余顶点不重复出现的回路
• 路径长度：路径上边的数目，若是带权，则是权值之和
• 距离：若从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度就是u到v的距离，若u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷
• 网：带权图
• 弧：带方向的边
• 稀疏图：边(弧)数e
• 稠密图：边(弧)数e>=nlogn
• 子图：图G=(V,E),G'=(V',E')，如果V'是V的子集，且E'是E的子集，则G'是G的子图，若满足V(G')=V(G)，则称其为G的生成子图
• 注意：并非V和E的任何子集都能构成子图。当E的子集中的某些边关联的顶点不在V的子集中时，这时无法构成图
• 连通：无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的
• 强连通：有向图中，若从顶点v到顶点w，从w到v都有路径存在，则称v和w是强连通的
• 连通图：若无向图中任意两个顶点都是连通的，该图就为连通图
• 强连通图：若有向图中任意两个顶点都是强连通的，该图就为强连通图
• 极大连通子图：子图必须连通，且包含尽可能多的顶点和边
• 连通分量：无向图中的极大连通子图
• 极大强连通子图：子图必须强连通，且包含尽可能多的顶点和边

• 强连通分量：有向图中的极大强连通子图
• 连通图的生成树：即极小连通子图，包含图中的全部顶点和连接全部顶点的n-1条边(顶点数为n)。如果多一条边，就会出现回路，如果减少一条边，则必然成为非连通的。生成树不一定唯一
• 非连通图的生成森林：不连通的图中存在若干个连通分量，每个连通分量对应一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林
• 有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图