【01分数规划】二分+判圈

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原创最新推荐文章于 2026-05-31 21:30:36 发布 573 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

01分数规划一般是用来解决 $∑f∑t=u\frac{\sum{f}}{\sum{t}} =u$ ，u最大的问题，这个变形一下可以写成 $∑f−u∑t=0\sum{f}-u\sum{t} = 0$ 。这样可以二分u，如果 $∑f−u∑t>0\sum{f}-u\sum{t} > 0$ ，说明u太小，否则u太大。

题意

n个点m条边的有向图，每个点有一个权值f，每条边有个权值t，现在要从任意一点出发并回到该点，问最大的 $∑f∑t\frac{\sum{f}}{\sum{t}}$ 是多少。

题解

有个结论：简单环的情况是最优的。
根据 $∑f−u∑t=0\sum{f}-u\sum{t} = 0$ ，二分u，将每条边的权值变为f-u*t，这样如果该图中有正环，说明 $∑f−u∑t>=0\sum{f}-u\sum{t} >= 0$ ，那么u还可以再大，否则u就要缩小。

为什么不根据负环check呢？因为要求的是u最大，图里可能既有负环也有正环，那么肯定需要选正环而不是负环。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR0(a,b) for(int i = a; i < b; ++i)
#define FORE(a,b) for(int i = a; i <= b; ++i)
#define x first 
#define y second
typedef long long ll;
typedef pair<int,double> pii;
const int maxn = 1000+5;
int n,m;
struct edge{
	int u,v;
	double w;
};
vector<edge> Edge;
vector<pii> G[maxn];
double f[maxn];
void add(int u, int v,int w) {
	G[u].push_back(pii(v,w));
}
double d[maxn];
int inq[maxn],cnt[maxn];
bool spfa(double mid) {
	queue<int> que;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) 
		d[i] = 10000000;
	memset(inq,0,sizeof inq);
	memset(cnt,0,sizeof cnt);
	int s = 0;
	d[s] = 0;
	que.push(0);
	inq[s] = 1;
	cnt[s] = 1;
	while(!que.empty()) {
		int u = que.front();
		que.pop();
		inq[u] = false;
		// cout << u << endl;
		for(int i = 0; i < G[u].size(); ++i) {
			int v = G[u][i].x;
			double w = G[u][i].y;
			w = (f[u]-mid*w);
			 // cout <<u<<" "<< v << endl;
			if(d[v] > d[u]+w) {
				d[v] = d[u]+w;
				if(!inq[v]) {
					inq[v] = true;
					que.push(v);
					if(++cnt[v] > n)
						return true;
				}
			}
		}
	}
	return false;
}
int main() {
	scanf("%d%d", &n,&m);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lf", &f[i]);
		G[0].push_back(pii(i,0));
	}
	int u,v;
	double w;
	for(int i = 0; i < m; ++i) {
		scanf("%d%d%lf", &u,&v,&w);
		G[u].push_back(pii(v,w));
	}

	double l = -1e9, r = 1e9, ans = l;
	for(int i = 0; i < 300; ++i) {
		double mid = (l+r)/2;
		if(spfa(mid)) {
			r = mid;
			ans = mid;
		} else 
			l = mid;
	}
	printf("%.2lf\n", l);
	return 0;
}