卷积理解与思考

1 卷积的思维原形

　　对于具有线性和时不变性的连续时间系统或者离散时间系统，我们在进行信号处理的时候，一个基本的思路就是将原始的时间信号分解成一组基本信号。但问题是我们如何选择一组基本信号，很显然的一点就是我们选择的基本信号要有利于我们后续进行信号分析。为此，产生了两种信号的分解方式：一类是将输入信号分解成复指数（complex exponential）的线性组合，这种方式对应于傅里叶变换(FT)；另一类则是将信号分解成一系列延时脉冲的线性组合，这种方法对应于卷积(convolution)，下面我们通过一个例子演示下这种分解方式是如何工作的。

　　给定如下离散时间信号，记为$x[n]$

　　我们可以将其将分解为如下加权延脉冲

　　将上述以各个单位延时脉冲为基(基础序列)建立起来的信号组合起来，就得得到原始的信号$x[n]$，即有

$$x[n]=x[-1]\delta[n+1]+x[0]\delta[n]+x[1]\delta[n-1]+x[2]\delta[n-2]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]$$

　　仔细观察上面的求和公式，不就是常见的卷积公式吗？借助线性代数中“基”的思想，我们简单理解下上面这个公式(纯属个人理解)：线性代数带给我们的一个重要的思考方式就“基”，如我们通过选定一组基向量，如$[0,0,1]$、[0,1,0]