NURBS蒙皮/放样曲面生成算法

参考资料

《The NURBS Book 2nd》中文版（清华大学出版社）

学习NURBS的经典书籍，对于NURBS相关的定义与算法进行了详细介绍，并对算法给出了类C风格的代码描述。在书的10.3节中，对生成蒙皮曲面的思路进行了介绍。

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轻量级的NURBS库，定义了NURBS相关的数据结构，并实现了如NURBS曲线曲面求值、求切向、求法向、节点插入等基本算法，但没有实现高级曲面构造算法（如蒙皮曲面）。

问题引入

蒙皮/放样

给定空间中的一组NURBS曲线，生成一张经过它们的NURBS曲面，这一过程可以形象地看作是对由曲线形成的骨架蒙上一层皮，因此被称为蒙皮（skinning）或放样（lofting）。蒙皮只是放样的新名词，二者的含义是等价的。

算法思路

对于这组NURBS曲线（常被称为截面曲线），首先需要进行一定的预处理：

1. 如果这组曲线的次数（degree）不统一，使用升阶算法令其统一
   （次数=阶数-1，degree指次数，但常用阶数一词描述曲线）
2. 如果这组曲线的节点向量（knots）不统一，使用节点细化算法令其统一
3. 对同阶且节点向量相同的曲线组，使用蒙皮算法

NURBS_Surface Skinning(vector<NURBS_Curve>curves){
	//参考《The NURBS Book 2nd》5.5节
	if(各曲线阶数不统一){
		//将所有曲线的阶数升到与最高阶的曲线相同
		newDegree = max(curves.degree);
		DegreeElevateCurve(curves,newDegree);
	}
	
	//参考《The NURBS Book 2nd》5.3节
	if(各曲线节点向量不统一){
		//合并各曲线节点向量
		new_knots = merge_knots(curves,knots);
		//令各曲线的节点向量改为新节点向量
		RefineKnotVectCurve(curves,new_knots);
	}
	
	//参考《The NURBS Book 2nd》10.3节
	skinSurface = BuildSkinSurface(curves);
	
	return skinSurface；
}

本文将重点讨论完成预处理后的情况，即对同阶且节点向量相同的曲线组生成蒙皮曲面，对于升阶和节点细化算法则仅作简单介绍。

蒙皮曲面生成算法

算法思路

tips：本文采用的NURBS数据结构及属性/方法命名与tinynurbs库一致。
要确定一个NURBS曲面，需要定义以下属性：

1. u方向次数（degree_u）
2. v方向次数（degree_v）
3. u方向节点向量（knots_u）
4. v方向节点向量（knots_v）
5. 曲面控制点（cotrol_points）
6. 曲面控制点的权重（weights）

以输入的曲线组的方向为u方向，蒙皮的方向为v方向，根据输入的曲线组可以直接确定蒙皮曲面的以下属性：

//各曲线的阶数和节点向量均相同，这就是预处理的意义
skinSurface.degree_u = curve.degree;
skinSurface.knots_u = curve.knots;

对于剩下的属性，分别采用以下方法得到：

1. v方向次数（degree_v）：任意选取，只要小于曲线数即可
2. v方向节点向量（knots_v）：参考《The NURBS Book 2nd》中公式10.8和9.8
3. 曲面控制点（cotrol_points）和曲面控制点的权重（weights）：将原曲线组的每列（v方向）控制点作为型值点，根据计算knots_v时得到的参数和节点向量进行曲线插值，反求控制点（参考《The NURBS Book 2nd》例9.1）

《The NURBS Book 2nd》10.3节描述这一过程的原文为：

基于B样条曲线，蒙皮曲面的构造过程如下，令
$C_k^w(u)={\sum }_{i=0}^n{N}_{i,p}(u)P_{i,k}^w(k=0,1,...,K)$
为有理或非有理的截面曲线。

注：即曲线组内共有0 ~ K条曲线，每条曲线有0 ~ n个控制点。

在$v$方向，选择次数$q$，确定参数 { v ˉ k } , ( k = 0 , . . . , K ) \left \{\bar v_{k} \right \},(k=0,...,K) {vˉk​},(k=0,...,K)和节点矢量$V$。
然后，根据这些参数和节点矢量对截面曲线的控制点进行$n+1$次曲线插值，即得到蒙皮曲面的控制点$Q_{i,j}^w$。
具体地，$Q_{i,j}^w$是插值于$P_{i,0}^w,...,P_{i,K}^w$的$q$次曲线的第$j$个控制点。

注：即蒙皮曲面的每列控制点，由对原曲线组的每列控制点插值得到。

注意，即使在截面曲线$C_k^w(u)$中只有一条是有理曲线，在$v$方向对$P_{i,k}^w$的插值也要在四维空间中进行；否则，仅需插值三维点$P_{i,k}^w$

注：即应首先将控制点(x,y,z)变为带权控制点(wx,wy,wz,w)

计算v方向节点向量

计算参数 { v ˉ k } \left \{\bar v_{k} \right \} {vˉk​}

首先，需要计算参数 { v ˉ k } \left \{\bar v_{k} \right \} {vˉk​}，其表示每条截面曲线在$v$方向所对应的参数。

根据《The NURBS Book 2nd》公式10.8， { v ˉ k } \left \{\bar v_{k} \right \} {vˉk​}的计算方法如下：

${\bar{v}}_0=0,{\bar{v}}_K=1$
${\bar{v}}_k={\bar{v}}_{k-1}+\frac{1}{n+1}{\sum }_{i=0}^n\frac{|P_{i,k}^w-P_{i,k-1}^w|}{d_i}(k=1,2,...,K-1)$
这里$d_i$表示$P_{i,0}^w,...,P_{i,K}^w$的总弦长，即$d_i=\left|P_{i,1}^w-P_{i,0}^w\right|+\left|P_{i,2}^w-P_{i,1}^w\right|+...+\left|P_{i,K}^w-P_{i,K-1}^w\right|$

注：曲线组内共有0 ~ K条曲线，每条曲线有0 ~ n个控制点，第k条曲线的第i个控制点$P_{i,k}^w$
${\bar{v}}_0=0,{\bar{v}}_K=1$表明了蒙皮曲面在$v$方向将以第一条与最后一条截面线作为边界，接下来我们来理解${\bar{v}}_k$的表达式。
{ v ˉ k } \left \{\bar v_{k} \right \} {vˉk​}表示截面曲线在$v$方向的参数值，其中第$k$条曲线的参数值${\bar{v}}_k$比第$k-1$条曲线的参数值${\bar{v}}_{k-1}$增加了
$\frac{1}{n+1}{\sum }_{i=0}^n\frac{|P_{i,k}^w-P_{i,k-1}^w|}{d_i}(k=1,2,...,K-1)$

而$\left|P_{i,k}^w-P_{i,k-1}^w\right|$表示第k条曲线的第i个控制点$P_{i,k}^w$和第k-1条曲线的第i个控制点$P_{i,k-1}^w$间的距离，$d_i$表示所有曲线的第i个控制点间的距离之和，因此$\frac{|P_{i,k}^w-P_{i,k-1}^w|}{d_i}$描述了前后两条曲线的间距在总距离中的占比。
对0 ~ n号控制点分别计算该比例后再取平均（除以$n+1$），以该值作为截面曲线的参数增加值。

std::vector<double> v;
v.push_back(0); //v_0=0;
double v_pre = 0;
for(int k = 1; k < K; k++) {
	double sum = 0;	//sum(P/d)
	for(int i = 0; i <= n; i++) {
		//第k条曲线的第i个控制点和第k-1条曲线的第i个控制点的距离
		double P_distance = distance(P[k][i], P[k-1][i]);
		//所有曲线第i个控制点间的距离之和
		double sum_P_distance = 0;	//di
		for(int l = 1;l <= K; l++) {
			sum_P_distance += distance(P[l][i], P[l-1][i]
		}
		sum += P_distance / sum_P_distance;	
	}
	double v_k = v_pre + sum / (n+1);
	v.push_back(v_k);
	v_pre = v_k;
}
v.push_back(1);	//v_K=1

计算节点向量

根据《The NURBS Book 2nd》公式9.8，可以用如下方法计算节点向量 U = { u 0 , u 1 , . . . , u m } U=\left \{u_{0},u_{1},...,u_{m}\right \} U={u0​,u1​,...,um​}：
$u_0=u_1=...=u_p=0,u_{m-p}=u_{m-p-1}=...=u_m=1$
$u_{j+p}=\frac{1}{p}{\sum }_{i=j}^{j+p-1}{\bar{v}}_i(j=1,2,...,n-p)$
其中，$p$为v方向次数，即前文提到的degree_v。
节点值由参数值取平均得到，用这种方式定义的节点矢量能很好地反应参数值的分布情况。

计算曲面控制点及权重

计算曲面控制点的方法可以用一句话概括：以截面曲线组v方向的每列控制点为型值点，反求曲面在v方向的每列控制点。这一过程被称为曲线插值，具体来说流程如下：
截面曲线组中共有$(K+1)$条曲线，每条曲线均具有$(n+1)$个控制点。以所有曲线的第$i(i=0,1,...,n)$个控制点为一列，构造一条经过这列控制点的NURBS曲线。这条新构造的曲线的控制点就是蒙皮曲面的第$i$列控制点。
这一过程是曲线求值的逆过程，因此通过解线性方程组即可求得蒙皮曲面的控制点。
注意：虽然需要对每一列控制点都进行曲线插值，但只需要计算一次参数和节点向量，这对于每列控制点都是统一的。
为简化描述，前文常使用控制点一词替代带权控制点。实际上，即使在截面曲线组中只有一条是有理曲线，在$v$方向对$P_{i,k}^w$的插值也要在四维空间中进行。因此，最后需要将计算得到的蒙皮曲面的带权控制点还原为控制点$(x,y,z)$和权值$w$。

预处理截面曲线

升阶算法

参考《The NURBS Book 2nd》5.5节

节点细化算法

参考《The NURBS Book 2nd》5.3节
节点插入是指一次插入单个节点，而节点细化是指一次插入多个节点。显然，节点细化可以通过多次应用节点插入算法来实现，但节点细化存在更有效的算法。这一算法的实现，可以参考《The NURBS Book 2nd》中的算法A5.4。
对于节点插入算法，tinynurbs库进行了实现，是include/tinynurbs/core/modify.h中的curveKnotInsert方法。如果插入节点较少，也可以通过多次调用该方法来实现节点细化。

实验结果

截面曲线：

蒙皮曲面：