44、有限网格与无限网格上的机器人图案形成算法

有限网格与无限网格上的机器人图案形成算法

1. 有限网格上的图案形成

1.1 问题描述

考虑在一个 $m×n$ 的有限网格上部署 $k$ 个机器人，要求它们从任意（对称或不对称）初始配置开始，形成给定的任意图案。这里假设机器人共享一个公共的全局坐标系，输入的目标配置 $C_{target}$ 也在该坐标系下给出。

1.2 $m = 1$ 的情况

当 $m = 1$ 时，网格退化为一个离散的线段。由于机器人有共同的全局坐标系，它们能确定左右方向。在初始配置中，机器人可以从左到右标记为 $r_1, \cdots, r_k$。为避免机器人交换位置（交换）和碰撞，我们采用的策略是让每个 $r_i$ 移动到对应的 $t_i$。具体来说，机器人只有在相邻网格点为空时才会移动到该点。以下是该策略的伪代码：

Algorithm 1: Pattern formation on a 1×n grid
1 Procedure PFonPath()
2     s ∈{left, right}
3     ri ←me
4     if I am not at ti then
5         if ti is on my s then
6             u ←the adjacent grid point on my s
7             if u is empty then
8                 Move to u

1.3 一般 $m×n$ 网格情况

一个 $m×n$ 的有限网格可以看作是