bzoj2440(二分+莫比乌斯函数)

最新推荐文章于 2020-01-25 16:17:58 发布

Lifel

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分类专栏：容斥原理 bzoj

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容斥原理

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本文介绍了一种高效算法来找出第K个不是完全平方数倍的正整数。通过枚举平方因子和使用二分搜索结合莫比乌斯函数的方法，实现了对大规模数据的有效处理。

题目大意:

询问从一开始的第k个不是完全平方数的正整数倍的数

思路:

这当考试题目做的,一开始以为用筛法预处理所有数,然后O(1)回答询问,结果n有1e9,显然O(n)都不可做.然后考虑枚举完全平方数的平方因子,这样把数据缩小到1e4~1e5左右.
然后我们发现直接询问第k个有些难做,不如把问题转化为一个存在性问题:即是否存在一个数n使得前面有k个数.这样我们二分这个n.
现在需要询问有多少在n之前的数对这个产生了贡献.
即:有多少个在n之前的数,分解后为的最高次数为1.
那么用容斥原理解决(就是莫比乌斯函数)即可

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=1e5+10;
typedef long long ll;
int prime[N],mu[N],
n,T,K;
bool check[N];
void getmu()
{
    memset(check,0,sizeof(check));
    mu[1]=1;
    int tot=0;
    for(int i=2;i<=N;i++) {
        if(!check[i]) {
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++) {
            if(i*prime[j]>N) break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }else {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}
bool jud(int t)
{
    ll cnt=0;
    for(int i=1;i*i<=t;i++) 
        cnt+=t/(i*i)*mu[i];
    if(cnt>=K) return 1;
    else return 0;
}
void solve()
{
    ll l=1,r=K<<1,mid,ans=0; 
    while(l<=r) {
        mid=(l+r)>>1;
        if(jud(mid)==1) ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }   
    printf("%lld\n",ans);
}
ll cal(int x)
{
    ll sum=0;
    int t=sqrt(x);
    for(int i=1;i<=t;i++)
        sum+=x/(i*i)*mu[i];
    return sum;
}
int main()
{
    freopen("number.in","r",stdin);
    freopen("number.out","w",stdout);
    getmu(); scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&K);
        solve();
    }
    return 0;
}