13.6 质量相关分析

13.6 质量相关分析：混合数据关联性的统计桥梁

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一、背景与核心需求

1. 传统方法的局限性
   传统的皮尔森相关系数、斯皮尔曼等级相关等工具仅适用于同类型变量（连续-连续或等级-等级）。但在实际研究中，常需分析**分类变量（如性别、是否及格）与连续变量（如成绩、身高）**的关联性。例如：

   • 分析“性别”对“数学成绩”的影响
   • 判断“是否通过考试”与“学习时长”的关联

2. 数据类型的混合性
   分类变量本质为离散标签（如“男/女”），而连续变量为数值型数据。传统方法无法直接量化此类关联，需引入**二列相关（Biserial Correlation）和点二列相关（Point-Biserial Correlation）**两种方法。

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二、底层逻辑与数学原理

1. 二列相关（Biserial Correlation）

   • 适用场景：人为将连续变量二分（如将成绩分为“及格/不及格”）

   • 公式：
     $$r_b=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_0}{S_X}\cdot \frac{pq}{y}$$
     其中：

     • (\bar{X}_1, \bar{X}_0)：二分变量两组的均值
     • (S_X)：全体数据的标准差
     • (p, q)：两组样本比例（(p+q=1)）
     • (y)：正态分布曲线在分割点处的高度

   • 实例：研究“自定义及格线”与“数学成绩”的关系。若及格组均值85分（占比30%），不及格组均值65分（标准差12），分割点处正态分布高度0.18，则计算得(r_b=0.95)（强正相关）。

2. 点二列相关（Point-Biserial Correlation）

   • 适用场景：自然存在的二分变量（如性别、是否录取）
   • 公式：
     $$r_{pb}=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_0}{S_X}\sqrt{pq}$$
     本质为皮尔森相关系数的特例，直接量化二分变量与连续变量的关联。

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三、方法对比与选择依据

维度	二列相关	点二列相关
变量特性	连续变量人为二分	自然二分变量（如性别）
数据要求	需满足正态分布	无分布假设
计算复杂度	需引入正态分布参数(y)	直接计算，无需额外参数
实例	按分数线划分成绩等级	性别与身高的关联性分析

选择依据：

• 若二分变量为人为划分（如自定义及格线），优先使用二列相关；
• 若二分变量天然存在（如性别、是否录取），则使用点二列相关。

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四、显著性检验与工具实现

1. 假设检验

   • 通过计算相关系数后，需进行T检验或Z检验验证显著性。例如：
     • 若计算得(r_{pb}=0.4)且(p<0.05)，可认为分类变量与连续变量显著相关。

2. Python实现

   # 点二列相关示例（使用scipy）
   from scipy.stats import pointbiserialr
   x = [0, 1, 0, 1, 1]  # 二分变量（如性别）
   y = [75, 85, 68, 90, 88]  # 连续变量（如成绩）
   r_pb, p_value = pointbiserialr(x, y)
   

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总结

质量相关分析像“跨界翻译官”

1. 核心任务：

   • 把“分类标签”和“连续数值”的关联翻译成数学语言。例如：男生和女生的数学成绩差异是否显著？

2. 二列相关 vs 点二列相关：

   • 二列相关：像考试时老师硬把分数划成“及格/不及格”，再研究这个分法是否科学。
   • 点二列相关：直接对比天然分类（如性别）的数值差异，比如“男生平均比女生高5cm”。

3. 关键提醒：

   • 即使相关显著，也不等于因果关系！例如：成绩及格率高可能是题目简单，而非性别差异导致。