锦标赛排序学习笔记_锦标赛排序算法-优快云博客

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前言

本来也不用写的，是碰到排序题发现根本不会快排才学了一下锦标赛排序的啊。

介绍

锦标赛排序可以用这个等式来描述：

$\small\textsf{锦标赛排序}=\dfrac{\left(\small\textsf{选择排序}+\small\textsf{堆排序}\right)}{2}$

就是这样的，锦标赛排序本质上就是维护一个小根堆（锦标赛排序树），每次取走最小值，而且较堆排序更易于实现。

实现

首先，设原数组为 $a$ ，锦标赛排序树为 $\text{tr}$ ，还有一棵树 $\text{id}$ ，排序完的数组为 $b$ 。

这里我们用数组存储树，所以 $\text{tr}$ 和 $\text{id}$ 也是数组，其中对于所有整数 $i\in[1,n]$ ，都有 $\text{tr}_{i+n-1}=a_i,id_{i+n-1}=i$ 。也就是说， $\text{tr}$ 的第 $n$ 层的元素全等于 $a$ 中的所有元素。

在 $\text{tr}$ 中，任意两个兄弟节点的父节点是他们的最小值，所以在开始时， $\text{tr}_1=\min{a}$ ，同时可以发现：对于所有整数 $i\in[1,2n-1]$ ， $\text{tr}_i\in a$ ，可以发现，此时锦标赛排序树满足小根堆的性质，大致长这样（图片来自 oi-wiki）：

图片来自 oi-wiki

可以理解为有 $n$ 个人在打淘汰赛，经过 $\log n$ 场比赛后就会产生出冠军，上图中黑线表示被淘汰。

根据选择排序的规则，我们找到了 $a$ 的最小值后，就应当删掉它去找次小值，在锦标赛排序中也一样。我们要找到最小值的位置，然后把最小值改成 $\infty$ ，此时可以像堆一样进行向上调整，调整后的树是这样的：

也就是说，我们在 $\Theta(\log n)$ 的时间里，就找到了次小数！以此类推，最坏情况下完成排序的时间复杂度为 $\Theta(n\log n)$ 。

但这个时候有个问题，我们怎么确定最小值的位置？我们可以用另一棵树 $\text{id}$ ，它标记了锦标赛排序树上每个节点在 $a$ 中的位置，用上面的图举个例子，我们用下标表示 $\text{id}$ ：

大家现在都懂了吧？让我们放代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define one(x) ((int)(1e##x))
using namespace std;

int n;
int tr[one(6)];
int id[one(6)];

int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>tr[i+n-1];
        id[i+n-1]=i;
    }
    for(int i=2*n-1; i>1; i-=2) {
        int j=i-1;
        int next=i/2;
        if(tr[i]<=tr[j]) {
            tr[next]=tr[i];
            id[next]=id[i];
        }else {
            tr[next]=tr[j];
            id[next]=id[j];
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cout<<tr[1]<<" \n"[i==n];
        tr[id[1]+n-1]=1000000020;
        int now=id[1]+n-1;
        while(now>1) {
            int j=now^1;
            int next=now>>1;
            if(tr[now]<=tr[j]) {
                tr[next]=tr[now];
                id[next]=id[now];
            }else {
                tr[next]=tr[j];
                id[next]=id[j];
            }
            now=next;
        }
    }
    return 0;
}