2023年数维杯D题思路——洗涤数学

洗衣清洁是人们每天都会做的事情。洗衣粉的去污功能来自于某些表面活性剂化学物质。这些物质可以增加水的渗透能力，并利用分子间的静电排斥机制来去除污垢颗粒。由于表面活性剂分子的形态，洗衣粉可以发挥其双重功能。表面活性剂分子的一端是亲脂性的，吸引污垢并排斥水，而另一端是亲水性的，吸引水分子。当洗衣粉倒入水中时，表面活性剂分子的亲脂部分会积极地粘附在任何没有水填充的表面，比如被洗涤物体的表面（由于身体或织物表面）。同时，亲水部分排斥油性物质。它弱化了维持水分子结合的分子间力（即使水形成像被弹性膜包裹的水滴一样的力），使单个分子能够渗透到待清洁物体的表面和污垢颗粒之间。因此，可以说表面活性剂降低了水的表面张力。洗衣机或手搓的机械作用可以使粘附在表面的表面活性剂分子包围的污垢颗粒脱落，污垢颗粒粘附在表面活性剂分子的亲脂部分。这导致了在冲洗阶段，仍悬浮在物体表面的污垢颗粒被去除。

在实际操作中，从小规模家庭操作到酒店和专业机构的专业操作，需要考虑的问题是：如何以较低的成本使衣物清洁整洁？这个看似简单的生活问题包含着深刻的数学原理。请开发一个适当的数学模型来解决以下问题：

1. 一件附有污垢的衣物，如果给定污垢量和可用水量，且水中污垢的溶解度在第k次洗涤时为ak，其中a1=0.80，ak=0.5ak-1，k=2,3,L。不考虑其他因素，清洁它的最佳方式是什么？给出洗涤次数和每次使用的水量的最优解，并讨论ak、初始污垢量和可用水量对目标的影响。
2. 假设每次洗涤所需时间相同，且可用水量无限制，最终的污垢残留量不得超过初始污垢量的千分之一，其他条件与问题1类似。提供最节时的清洁方案，并分析ak和初始污垢量对最优解的影响。
3. 有几件衣物，其上的污垢类型和数量如表1所示。现有十种洗涤剂，不同洗涤剂对污垢的溶解度和洗涤剂单价如表2所示。如果水费为每吨3.8元，请尝试给出节约成本和良好清洁方案。
4. 有几种不同材质的衣物，其上的污垢类型和数量如表3所示。考虑到材质、颜色等方面的差异，某些衣物不能混合洗涤，如表4所示。在问题2相同条件下，尝试提供一个经济高效的清洁方案。

注意：本次竞赛只考虑常规的水洗方法。

定义术语：

溶解度ak：表示在第k次洗涤中，等量洗涤剂相对于初始污垢量溶解的污垢比例。
初始污垢量：表示清洁前衣物上的污垢量，以克为单位。