9/12日作业

T1.证明二项分布与Beta分布的关系

这里我们先给出Beta分布的形式
$Beta(\alpha,\beta):P(X|\alpha,\beta)=\frac{x^{\alpha-1}{(1-x)^{\beta-1}}}{B(\alpha,\beta)}$
这里
$B(\alpha,\beta)=\int^{1}_{0}{t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}}dt$

我们的问题为：给定$X \sim (n,p)$,找出$P(X)$和Beta分布的关系。

我们假设有$C_1,C_1,....C_n$n 独立同分布的随机变量，满足0，1上的均匀分布。用随机变量X表示这n个随机变量中满足$C_k<p$的个数，这样我们就构造出一个满足二项分布的$X$，$X\sim B(n,p)$

则$P(X\leq k) = P(C_{(k+1)}>p)$ 其中$C_k$表示$C_1,C_2,...C_n$中第k+1大的数。

那么$C_{k+1}$是一个什么样的分布呢，我们可以知道，在这n个随机变量中，有k个数小于$C_{k+1}$,有n-k-1个数大于C_{k+1},假设我们将0-1区间分成三份$[0,x),[x,x+\Delta x),[x+\Delta x,1]$,我们可以得到，$C_{k+1}$对应事件发生的概率为$n*\binom{n-1}{k}x^{(k)}(1-x-\Delta x )^{(n-k-1)}\Delta x$

$P(x \leq C_{k+1} \leq x+\Delta x)=n*\binom{n-1}{k}x^{(k)}(1-x-\Delta x )^{(n-k-1)}\Delta x$

当$\Delta x \rightarrow 0$时，C_{k+1}的概率密度函数为$\frac{n!}{k!(n-k-1)!}x^k(1-x)^{(n-k-1)}$，即$Beta(x|k+1,n-k)$

$P(X\leq k)=\int ^{1}_{0}Beta(t|k+1,n-k)dt$ ， 其中$X \sim B(n,p)$