【题解&总结】 P3327 [SDOI2015]约数个数和

题目大意

设 $d(x)$ 表示 $x$ 因数个数，给定 $n,m$ ，求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(ij)$$

题解

首先有一个奇妙的结论：
$$d(ij)=\sum _{x|i}\sum _{y|i}[gcd(x,y)==1]$$
证明如下：
根据定义，$$d(ij)=\sum _{p|ij}1$$
我们尝试把 $p$ 拆开，设 $xy=p$ ，那我们若我们枚举 $x,y$ 则因为 $x|i$ 且 $y|j$，则 $xy|ij$ ，但发现会有重复，而如果我们假设 $gcd(x,y)=1$ ，则有
$$d(ij)=\sum _{x|i}\underset{y|j}{}$$