【刷题总结】 P2568 GCD

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于 2021-07-21 22:11:33 发布

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分类专栏：数论数学题解

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LeeCongWei/article/details/118977705

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这篇博客探讨了一种利用数论和莫比乌斯反演解决数学问题的方法，特别是在计算机编程中。博主通过一道题目展示了如何将问题转化为对素数的求和，并应用数论分块技巧进行高效计算。代码实现部分展示了C++代码，该代码实现了整个求解过程，为理解数论在算法设计中的应用提供了实例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

求 $∑d∈prime∑i=1n∑j=1n[(i,j)==d]\sum_{d\in prime}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i,j)==d]$

题解

除以 $d$ ，得
$∑d∈prime∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[(i,j)==1]\sum_{d\in prime}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[(i,j)==1]$
然后运用莫比乌斯反演，得
$∑d∈prime∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋∑k∣(i,j)μ(k)\sum_{d\in prime}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{k|(i,j)}\mu(k)$
常规套路，考虑枚举 $k$ ，同时设 $T=⌊nd⌋T=\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$ ，得
$∑d∈prime∑k=1Tμ(k)⋅⌊Tk⌋2\sum_{d\in prime}\sum_{k=1}^T\mu(k)·\lfloor\frac{T}{k}\rfloor^2$
运用数论分块，解决。

Code

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int n,cnt;
int mu[10000005],sum[10000005];
int prime[100005];
bool bz[10000005];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;++i){
		if (!bz[i]){
			bz[i]=1;
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for (int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){
			bz[i*prime[j]]=1;
			if (i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else{
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
	ll ans=0;
	for (int i=1;i<=cnt;++i){
		ll T=n/prime[i];
		for (ll l=1,r=0;l<=T;l=r+1){
			r=T/(T/l);
			ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(T/l)*(T/l);
		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}