【学习笔记】数论/递推/矩阵/倍增：斐波那契数列

到现在，斐波那契数列对于OIer们可谓无人不知无人不晓了
可是，对于大多数初初学者来说，他们只知道一个简单的递推式
而对于一些初学者来说（包括我在内），也只懂得一个矩阵快速幂去优化
事实上，还有一个 $O(1)$ 时间复杂度的做法：黄金比例（虽然我看不懂证明过程）
那么我们就来讲讲斐波那契数列吧

斐波那契数列

举个例子，一个很普通的递推：这里有 $n$ 层楼梯，每次你可以向上爬1层或2层，你现在在第1层楼梯，问你爬到第 $n$ 层楼梯有多少方案。
很显然，递推式就是 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$（不用我解释了吧）
特别地 $F_1=1,F_2=1$
其实我们可以再来看看他的式子 $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...$，我们后面会讲到它。
这，就是斐波那契数列。
事实上，自然界万物都跟斐波那契数列息息相关，具体的例子我就不举了，你们自己上网白度去。
并且，斐波那契数列的应用太多太多了，同样的，你们上网百度去。

斐波那契数列——优化

但这种递推式虽然是 $O(n)$ 的做法，但是当 $n>10^6$ 的时候，它就变得越来越力不从心了
那么有什么办法吗？
最常用也是最好理解的一种优化（虽然据我所知只有两种）是矩阵快速幂优化。
假设我们先建立一个矩阵 $(\begin{array}{cc}{F}_1& F_2\\ 0& 0\end{array})$ 我们考虑如何转移到$(\begin{array}{cc}{F}_n& F_n+1\\ 0& 0\end{array})$ 。
先思考一个子问题：
$(\begin{array}{cc}{F}_1& F_2\\ 0& 0\end{array})$ 如何转移到$(\begin{array}{cc}{F}_2& F_3\\ 0& 0\end{array})$ ？
其实我们可以建立一个矩阵，使得它们两个乘起来可以转移到下一个矩阵
由于 $F_3=F_1+F_2$ 而且第二个矩阵里的 $F_2$ 可以通过原来的矩阵里的 $F_2$ 复制得来
如此我们便可以建立一个矩阵，设为 $A$，$A=(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array})$。
把原始矩阵设为 $S$ 吧。
那么我们转移只需要用 $S$ 乘若干个 $A$ 得来
由于矩阵乘法符合乘法结合律，所以这若干个 $A$ 我们通过快速幂的方式实现。
答案即 $S\times A^n$ 的 $(1,1)$（1行1列）这个位置

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define R register
using namespace std;
const ll mod=1e8+7; 
ll n,b;
ll A[5][5],F[5];
void mul(ll F[5],ll A[5][5]){
   
	ll T[5];
	memset(T,0,sizeof(T));
	for (R int i=1;i<=2;i++)
		for (R int j=1;j<=2;j++)
			T[i]=(T[i]+F[j]*A[j][i]%mod)%mod;
	for (R int i=1