解决BZOJ1045问题：构造方程组并求解-优快云博客

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传送门：BZOJ1045

结论题。

$设i顺时针传给下一个人的数量为x_{i}，目标平均值值为ave$
$则目标就是让ai-x_{i}+x_{i-1}=ave的前提下最小化$

\sum i = 1 n | x i |

$\sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right|$
可以构造出

a1−x1+x2=ave $a1-x_1+x_2=ave$

a2−x2+x3=ave $a2-x_2+x_3=ave$

a1−x3+x4=ave $a1-x_3+x_4=ave$
…..

an−xn+x1=ave $an-x_n+x_1=ave$

这个方程组有n个方程和n个变量，但显然，最后一个方程式无意义。
于是考虑:
$a1-x_1+x_2=ave \Longrightarrow x_2=ave+x_1-a1$
$a2-x_2+x_3=ave \Longrightarrow x_3=ave+x_2-a2=2 \times ave-a1-a2+x1$
$a3-x_3+x_4=ave \Longrightarrow x_3=3 \times ave-a1-a2-a3+x1$
…
$an-x_n+x_1=ave，无意义$

这只要自己计算一下就可以明白，记 $c_i=(\sum_{j=1}^{i} a_j)-i \times ave$ ，于是有
$x_2=x_1-c_1$
$x_3=x_1-c_2$
……
$\forall i \ge 2,x_i=x_1-c_{i-1}$
于是最小化的目标函数就是

| x 1 | + \sum i = 1 n - 1 | x 1 - c i | = | x 1 - 0 | + \sum i = 1 n - 1 | x 1 - c i |

$|x_1|+\sum_{i=1}^{n-1} |x_1-c_i|=|x_1-0|+\sum_{i=1}^{n-1} |x_1-c_i|$
也就是说，给出数轴上的点

(0,c1,c2,c3...cn−1)，求一个点y,令y到所有点的距离和最小 $(0,c_1,c_2,c_3...c_n-1)，求一个点y,令y到所有点的距离和最小$

显然，点y就是所有点的中位数 $显然，点y就是所有点的中位数$

完成推导后做法还是很优雅的。

代码上的小细节见下。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

int n;
int a[1000005];
int c[1000005];
long long ave;

void Solve()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        c[i]=c[i-1]+a[i]-ave;
    sort(c+1,c+n+1);
    long long ans=0;
    int j=(1+n)/2;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=abs(c[j]-c[i]);
    cout<<ans;
}

void Readdata()
{
    freopen("loli.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ave+=a[i];
    ave/=n;
}

void Close()
{
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
}

int main()
{
    Readdata();
    Solve();
    Close();
    return 0;\
}