20160317 Uva11395 Sigma Function（素因子分解+各种公式+筛数）

最新推荐文章于 2024-01-19 08:33:28 发布

原创最新推荐文章于 2024-01-19 08:33:28 发布 · 652 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#uva #素因子

数学数论专栏收录该内容

15 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种计算1到n范围内σ函数值为偶数的数量的方法。通过对σ函数值的奇偶性分析，得出只有特定形式的n才会使σ(n)为奇数，并给出了解决方案。

题意：

sigma(n)=n的所有因子之和，例如sigma(24) = 1+2+3+4+6+8+12+24=60，求1-n内有多少sigma函数的值为偶数。

思路：

从测试数据可以看出为偶数的情况比较多，所以可以反过来对奇数的情况进行讨论。

从上述公式能够看得出sigma函数的值可以通过分解n的素因子得到。
而对于上述公式可以有如下分析：
1.对于唯一的偶素数2,(2^n-1) / (2-1) 恒为奇数。

2.对于其他素数的(p^n-1) / (p-1)如何进行分析呢？
n=1 ----------> (p-1)/(p-1)=1
1为奇数。
n=2 ----------> (p^2-1)(p-1)=(p+1)(p-1)/(p-1)=p+1(平方差公式)
因为p一定为奇数所以p+1为偶数
n=3 ----------> (p^3-1)/(p-1)=(p^2+p+1)(p-1)/(p-1)=p^2+p+1(立方差公式)
p^2+p+1，三个奇数相加，结果为奇数
n=4 ----------> (p^4-1)/(p-1)=(p^3+p^2+p+1)(p-1)/(p-1)=p^3+p^2+p+1(四次方差公式)
p^3+p^2+p+1，四个奇数相加，结果为偶数
因为每次化简后通过n次方差公式可以将该素因子对应的项化为∑p^(n-1)。并且每一项都为奇数，所以该素因子的对应项的奇偶性与n-1的奇偶性一致。
所以当n中有偶数个该素因子时可以保证该项为奇数，当所有除2以外的素因子都有偶数个时，可以保证sigma(n)为奇数（奇数相乘结果为奇数）。反之，有一个除2以外的素因子有奇数个，sigma(n)则为偶数。

3.因此sigma(n)为奇数的n都可以表示为(2^e)*(c^2) c为奇数，e为任意正整数。
代码实现如下：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;

long long ds[100];
const long long MAXN=1000000000005;
int solve()
{
    int cnt=1;
    ds[0]=1;
    while(1)
    {
        ds[cnt]=ds[cnt-1]*2;
        //cout<<ds[cnt]<<endl;
        if(ds[cnt]>MAXN) break;
        cnt++;
    }
    return cnt;
}
int main()
{
    int T,c=1;
    long long n;
    int lim=solve();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        long long ans=0;
        for(int i=0;i<lim;i++)
        {
            if(ds[i]>n) break;
            //cout<<ans<<endl;
            ans+=((long long)sqrt((n/ds[i])+0.5)+1)/2;
        }
        printf("Case %d: %lld\n",c++,n-ans);
    }
    return 0;
}