概率论与数理统计——多维随机变量及其分布

最新推荐文章于 2022-09-12 22:50:29 发布

原创

最新推荐文章于 2022-09-12 22:50:29 发布 · 2k 阅读

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

本文详细介绍了二维随机变量及其分布，包括联合分布、边缘分布和条件分布的概念，以及随机变量的独立性和多维随机变量函数的分布。重点讲解了联合分布函数的性质、二维离散型和连续型随机变量，边缘概率密度和条件概率密度的计算，同时涵盖了随机变量独立性的充要条件以及二维随机变量函数如和、乘、商的分布规律。

设E是随机试验，样本空间Ω={ω}，由X=X(ω),Y=Y(ω)构成的向量(X,Y)称为二维随机变量

设(X,Y)是二维随机变量，x，y是两个任意实数，则称定义在平面上的二元函数P{X≤x，Y≤y}为(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数，记作F(x,y),即
$F(x,y)=P\{X≤x，Y≤y\}$

联合分布函数的性质：
（1）0≤F(x,y)≤1，且F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1
（2）F(x,y)是变量x或y的单调不减函数
（3）F(x,y)=F(x+0,y)，F(x,y)=F(x,y+0)，F(x,y)关于x或y都是右连续的

（4）对任意的(x1,y1),(x2,y2)：当x1<x2，y1<y2时有

$P\{x_{1}<X≤x_{2},y_{1}<Y≤y_{2}\}=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{2})-F(x_{2},y_{1})+F(x_{1},y_{1})$

若(X,Y)所有可能取值为( $x_{i},y_{j}$ )， $i ， j = 1, 2, \cdot \cdot \cdot$ ，则

$P\{X=x_{i},Y=y_{j}\}=p_{ij}$

称为联合分布律，联合分布律可列表如下：

$p$ $Y$ $\\X$	$y_{1}$ ··· $y_{1}$ ···
$x_{1}$ ··· $x_{i}$ ···	$p_{11}$ ··· $p_{1j}$ ··· ··· ··· $p_{i1}$ ··· $p_{ij}$ ··· ··· ···

联合分布律的性质： $p_{ij}≥0，\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}=1$

若分布函数 $F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(μ,ν)dμdν$ ，则称(X,Y)是连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度

联合概率密度的性质：
（1） $f (x, y) \geq 0;$ $\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1;$

（2）若 $f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续，则 $\frac{\partial^2F(x,y) }{\partial x\partial y}=f(x,y).$

（3）设G是xOy平面上一个区域，则 $P\{(X,Y)∈G\}=\iint_{G}f(x,y)dxdy.$

设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，分别称函数

$F_{X}(x)=\lim_{y\rightarrow +\infty}F(x,y)=F(x,+\infty)$ 和 $F_{Y}(y)=\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x,y)=F(+\infty,y)$

为(X,Y)的边缘分布函数

设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为 $P\{X=x_{i},Y=y_{j}\}=p_{ij}$
则分别称
$p_{i·}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=P\{X=x_{i}\}(i=1,2,···)$