单峰【NOIP2016提高A组模拟9.2】

最新推荐文章于 2018-09-16 11:25:03 发布

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#快速幂 #数学

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本文探讨了一道关于计算特定排列数量的问题，即求n的全排列中具有单调性或单峰性的排列数目。通过分析得出，最高元素一定位于峰顶，其余元素分布于两侧，从而简化了问题。介绍了三种解题思路：暴力破解、动态规划优化以及快速幂运算，其中快速幂运算的时间复杂度最优。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

这里写图片描述
样例输入：

2

样例输出：
这里写图片描述
2

数据范围：
这里写图片描述

剖解题目

给出n，问n的全排列中，有多少个的数值是呈单调性或单峰性。

思路

比赛时，一直觉得当最高处在两边时，好像得额外算，WA了。

解法

20%：暴力。
50%：很明显最高处一定是n，那么剩下的n-1个数只可能放在比他高的数的左边或者右边，那么就是两种方案，所以 $ans=2^{n-1}$ ，计算即可。时间 $O(n)$
100%：快速幂。时间 $O(log_n)$ 。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long

using namespace std;

const ll mo=1e9+7;
ll n,ans;

ll qsm(ll a,ll b)
{
    ll t=1,y=a;
    while (b) {
        if (b&1) t=t*y%mo;
        y=y*y%mo;
        b>>=1;
    }
    return t;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    if (n==1) printf("1");
    else if (n==2) printf("2");
    else {
        n=n-1;
        ans=qsm(2,n);
        printf("%lld",ans);
    }
}