y=x^sinx（y=x的sinx次方）为什么不能用复合函数直接求导数？

最近正在学习导数，在看书上的例题：

但老猿在想，这为什么不用复合函数求导呢？于是自己试了一下用复合函数求导来求解：
y’=(x^sinx)’=sinx*x^sinx-1*cosx
表达式结果相差很大，用x=π/2去计算值也完全不同，这说明这种方法肯定不对。那问题出在哪里呢？

在网上仔细查了一下，在知乎上看到了这样一段话：

x^n求导等于n*x^(n-1)你用了这个公式其实这个公式存在一个隐含的要求：
就是指数n必须和x无关你用了这个公式显然不满足这个要求，因此这样的使用是错误的。
硬要这么做也可以就是把指数sinx暂时设为一个与x无关的变量z，
有：
z=sinx这样函数变为：
y=x^z对其求全微分dy=z*x^(z-1)dx+lnx*x^zdz
注意此时x和z各为独立的变量。
由z=sinx，对两边微分得：
dz=cosxdx把z和dz换成sinx和cosxdx得：
dy=sinx*x^(sinx-1)dx+lnx*x^sinx*cosxdx=x^sinx(cosx*lnx+sinx/x)dx
结果与方法一一致

作者：匿名用户
链接：https://www.zhihu.com/question/407955733/answer/1597058528
来源：知乎

就是说使用复合函数方式求导的要求是，两个函数之间，前一个函数应该包含所有自变量部分的表达式，后一个函数只接受前一个函数返回的整体中包含的自变量参与后续运算，而不能将一个函数中包含有自变量的部分拆成两部分分别在两个函数中使用。例如函数：f(x)=lnxsinx中，只能将xsinx当成前一个函数，不能将sinx当成前一个函数，lnxsinx再作为复合函数。

小结：
本文介绍了y=x的sinx次方为什么不能直接适用复合函数求导的原因，复合函数求导一定要把两个函数看成相互独立没有耦合变量的，第一个函数输出的整体作为第二个函数的输入。

说明：

本文内容是老猿学习同济版高数的总结，有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。

更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。

写博不易，敬请支持：

如果阅读本文于您有所获，敬请点赞、评论、收藏，谢谢大家的支持！

关于老猿的付费专栏

1. 付费专栏《https://blog.youkuaiyun.com/laoyuanpython/category_9607725.html 使用PyQt开发图形界面Python应用》专门介绍基于Python的PyQt图形界面开发基础教程，对应文章目录为《 https://blog.youkuaiyun.com/LaoYuanPython/article/details/107580932 使用PyQt开发图形界面Python应用专栏目录》；
2. 付费专栏《https://blog.youkuaiyun.com/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音视频开发专栏 )详细介绍moviepy音视频剪辑合成处理的类相关方法及使用相关方法进行相关剪辑合成场景的处理，对应文章目录为《https://blog.youkuaiyun.com/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音视频开发专栏文章目录》；
3. 付费专栏《https://blog.youkuaiyun.com/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初学者疑难问题集》为《https://blog.youkuaiyun.com/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的伴生专栏，是笔者对OpenCV-Python图形图像处理学习中遇到的一些问题个人感悟的整合，相关资料基本上都是老猿反复研究的成果，有助于OpenCV-Python初学者比较深入地理解OpenCV，对应文章目录为《https://blog.youkuaiyun.com/LaoYuanPython/article/details/109713407 OpenCV-Python初学者疑难问题集专栏目录 》
4. 付费专栏《https://blog.youkuaiyun.com/laoyuanpython/category_10762553.html Python爬虫入门 》站在一个互联网前端开发小白的角度介绍爬虫开发应知应会内容，包括爬虫入门的基础知识，以及爬取优快云文章信息、博主信息、给文章点赞、评论等实战内容。

前两个专栏都适合有一定Python基础但无相关知识的小白读者学习，第三个专栏请大家结合《https://blog.youkuaiyun.com/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的学习使用。

对于缺乏Python基础的同仁，可以通过老猿的免费专栏《https://blog.youkuaiyun.com/laoyuanpython/category_9831699.html 专栏：Python基础教程目录）从零开始学习Python。

如果有兴趣也愿意支持老猿的读者，欢迎购买付费专栏。

如对文章内容存在疑问，可在博客评论区留言，或关注：老猿Python 微信公号发消息咨询。

老猿Python，跟老猿学Python！

☞ ░ 前往老猿Python博文目录 https://blog.youkuaiyun.com/LaoYuanPython ░