偏微分方程算法之克兰克-尼科尔森法（Crank-Nicolson法）

已于 2024-05-11 17:01:54 修改
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分类专栏： 偏微分方程（抛物型） 文章标签： 算法
于 2024-04-10 16:44:52 首次发布
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本文介绍了克兰克-尼科尔森法（Crank-Nicolson法），一种改进的偏微分方程数值解法。相对于向前欧拉法和向后欧拉法，Crank-Nicolson法通过使用二阶中心差商提高了收敛速度，并保证误差与步长同比例减少。文章详细阐述了Crank-Nicolson法的理论推导，包括网格剖分、离散方程建立、差分格式构建和求解过程。通过算例展示了该方法在不同步长下的误差减少情况，验证了其优势。

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一、研究对象

       从偏微分方程的向前欧拉法和向后欧拉法的计算结果分析可知，向前欧拉法虽然计算简单但稳定性差，收敛要求高，只有选择合理的时间、空间步长时才能确保数值计算收敛；向后欧拉法则不需要考虑时间、空间步长的选取，但需要在每个时间层上求解一个线性方程组，计算量大。同时，两种方法在时间、空间步长均减半的情况下，计算误差无法确定性的减少1/4，而是减少1/2到1/4。为了实现误差与步长同比例变化，我们可以通过对时间的一阶偏导数采用二阶中心差商的方式，提升收敛速度。

       我们继续以与向前、向后欧拉法相同的抛物型方程初边值问题为研究对象：

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