NYOJ 613 HDU 1173 免费馅饼（动态规划）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/L_BestCoder/article/details/51039370

本文探讨了一种独特的游戏开发场景——当游戏人物Gameboy在回家的路上突然遭遇馅饼掉落的问题。通过详细描述游戏人物的位置、掉落馅饼的时间与位置，以及其移动能力的限制，本文提出了一种基于动态规划的算法解决方案，旨在最大化Gameboy接住馅饼的数量。通过输入数据的解析、状态转移方程的设定以及最优解的求取过程，展示了如何在有限时间内利用算法高效解决问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

免费馅饼

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难度： 3

描述

都说天上不会掉馅饼，但有一天gameboy正走在回家的小径上，忽然天上掉下大把大把的馅饼。说来gameboy的人品实在是太好了，这馅饼别处都不掉，就掉落在他身旁的10米范围内。馅饼如果掉在了地上当然就不能吃了，所以gameboy马上卸下身上的背包去接。但由于小径两侧都不能站人，所以他只能在小径上接。由于gameboy平时老呆在房间里玩游戏，虽然在游戏中是个身手敏捷的高手，但在现实中运动神经特别迟钝，每秒种只有在移动不超过一米的范围内接住坠落的馅饼。现在给这条小径如图标上坐标：

为了使问题简化，假设在接下来的一段时间里，馅饼都掉落在0-10这11个位置。开始时gameboy站在5这个位置，因此在第一秒，他只能接到4,5,6这三个位置中其中一个位置上的馅饼。问gameboy最多可能接到多少个馅饼？（假设他的背包可以容纳无穷多个馅饼）

输入

输入数据有多组。每组数据的第一行为以正整数n(0<n<100000)，表示有n个馅饼掉在这条小径上。在结下来的n行中，每行有两个整数x,T(0<T<100000),表示在第T秒有一个馅饼掉在x点上。同一秒钟在同一点上可能掉下多个馅饼。n=0时输入结束。

输出

每一组输入数据对应一行输出。输出一个整数m，表示gameboy最多可能接到m个馅饼。
提示：本题的输入数据量比较大，建议用scanf读入，用cin可能会超时。

样例输入

样例输出

思路：状态转移方程 dp[i][j]=max( dp[i-1][j] , dp[i-1][j-1] , dp[i-1][j+1] ) + cnt[i][j] --注意j的范围。

代码如下：

<span style="font-size:24px;"><strong>#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define MAXN 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int dp[100005][15];
int cnt[100005][15];//这个时间这个坐标会掉下的饼 
int main(){
	int n,i,j,x,t,maxx;
	while(scanf("%d",&n) != EOF && n){
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		maxx=0;//初始化 
		for(i=0;i<n;i++){
			scanf("%d%d",&x,&t);
			cnt[t][x]++;
			maxx=max(maxx,t);//找到最大的时间 
		}
		dp[1][5]=cnt[1][5];
		dp[1][6]=cnt[1][6];
		dp[1][4]=cnt[1][4];//第一秒三种可能的状态以及值 
		for(i=2;i<=maxx;i++){//时间 
			for(j=0;j<=10;j++){//坐标 
				dp[i][j]=dp[i-1][j]+cnt[i][j];//原地不动 
				if(j-1>=0)dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1]+cnt[i][j],dp[i][j]);//向左 
			    if(j+1<=10)dp[i][j]=max(dp[i-1][j+1]+cnt[i][j],dp[i][j]);//向右 
			}
		}
		int ans=0;
		for(i=0;i<=10;i++){//找到最大时间下不同点时的最大值 
			ans=max(ans,dp[maxx][i]);
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}
</strong></span>

还有一种方法，把各个时间和坐标填入一张矩阵中，以时间为行，坐标为列，然后从顶点往下搜，搜的过程类似于数塔问题。

代码如下：

<strong>#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[100005][15];
int maxnum[100005][15];
int maxt;
int dp(int i,int j){//和数塔的原理一样 
	if(i==maxt)return a[i][j];
	if(maxnum[i+1][j]==-1)maxnum[i+1][j]=dp(i+1,j);
	if(j+1<=10 && maxnum[i+1][j+1]==-1)maxnum[i+1][j+1]=dp(i+1,j+1);
	if(j-1>=0 && maxnum[i+1][j-1]==-1)maxnum[i+1][j-1]=dp(i+1,j-1);
	return max(maxnum[i+1][j],max(maxnum[i+1][j+1],maxnum[i+1][j-1]))+a[i][j];
}
int main(){
	int i,j,n,t,x;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF && n){
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(maxnum,-1,sizeof(maxnum));
		maxt=0;
		for(i=0;i<n;i++){
			scanf("%d%d",&x,&t);
			a[t][x]++;
			maxt=max(maxt,t);//找到时间的最大值，即最后一秒 
		}
		cout<<dp(0,5)<<endl;//从顶点往下遍历 
	}
	return 0;
}
</strong>